高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 4 不等式的证明第2课时学案 北师大版选修4-5

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1、4不等式的证明第2课时　综合法、放缩法1．理解综合法的方法与步骤，会用综合法证明简单的不等式．2．认识放缩法，了解它的方法与步骤，会用放缩法证明简单的不等式．1．综合法(1)定义：利用某些______________(例如算术平均数和几何平均数的定理)和__________，推导出所要证明的不等式，这种证明方法叫综合法．(2)证明原理：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B，即从________出发，逐步推演不等式成立的____条件，推导出所要证明的结论B．【做一做1】设a，b，c都是正数，求证：(a＋b＋c)·≥．2．放缩法(1)定义：通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通

2、过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为______．(2)放缩法证明不等式的主要依据：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．【做一做2】若n∈N＋，求证：＋＋…＋＜．答案：1．(1)已经证明过的不等式　不等式的性质　(2)已知条件A　必要【做一做1】证明：∵(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥3·，又＋＋≥3·，∴(a＋b＋c)≥·3··3·≥．2．(1)放缩法【做一做2】分析：利用＜＝来证明．证明：∵＜＝，∴＋＋…＋＜＋＋…＋＝＝＝＜．1．分析法与综合法的比较剖析：(1)综合法与分析

3、法的比较如下表．方法起始步骤求证过程求证目标方向综合法要求证的结论由因导果基本不等式或已经证明过的不等式实施一系列的推理或等价变换分析法要求证的不等式寻求结论成立的充分条件并证明其成立所需条件全都成立执果索因(2)用综合法与分析法证明不等式的逻辑关系综合法：A(已知)⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(结论)(逐步推演不等式成立的必要条件)，即由条件出发推导出所要证明的不等式成立．分析法：B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(已知或明显成立的条件)(步步寻求不等式成立的充分条件)．总之，分析法与综合法是对立统一的两种方法．2．用放缩法证明不等式剖析：(1)为了证明不等式，有时需舍

4、去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证题的目的，这种方法就是放缩法．运用放缩法要注意放缩必须适当，放得过大或缩得过小都不能达到证题的目的．(2)放缩时使用的主要方法有：①舍去或加上一些项，如2＋＞2；②将分子(或分母)放大(或缩小)，如＜(k＞1)，＞，＜，＞(k∈N＋)等．(3)放缩法的理论依据主要有①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．对不等式而言，放缩法的本质是“不等式的加强”．(4)运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大

5、时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．题型一　利用综合法证明不等式【例1】设a，b，c为不全相等的正数，求证：＋＋＞3．分析：利用不等式的性质，对不等式的左边进行整理，化简．反思：在利用a＋b≥2时，必须满足“一正二定三相等”，而本题中a，b，c为不全相等的正数，故三项之和取不到6，即等号不能传递下去．题型二　利用放缩法证明不等式【例2】设n是正整数，求证：≤＋＋…＋＜1．分

6、析：要求一个n项分式＋＋…＋的范围，它的和又求不出来，可以采用“化整为零”的方法，先观察每一项的范围，再求整体的范围．反思：放缩法证明不等式，放缩要适度，否则会陷入困境，例如证明＋＋…＋＜，根据＜－，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第2项开始放缩，可证得小于2．当放缩方式不同时，结果也在变化．答案：【例1】证明：左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1＝＋＋＋＋＋－3．∵a，b，c为不全相等的正数，∴＋≥2，＋≥2，＋≥2中的等号不可能同时成立，∴＋＋＞6，∴＋＋＞6－3＝3．【例2】证明：由2n≥n＋k＞n(k＝1,2，…，n)，得≤＜．当k＝1时，≤＜；当k＝2时，≤＜；

7、…当k＝n时，≤＜．∴＝≤＋＋…＋＜＝1，即原不等式成立．1使a＞b＞0成立的一个充分而不必要条件是(　　)．A．＞B．a2＞b2＞0C．lga－lgb＞0D．xa＞xb且x＞02设a＞0，b＞0，a＋b＝1，M＝＋＋，则M与8的大小关系是(　　)．A．M＝8B．M≥8C．M＜8D．M≤83已知α∈(0，π)，则下列各式成立的是(　　)．A．2sin2α≤B．2sin2α＝C．2sin2α＞D．2sin2α≥4设a，b，c，d为任意正实数．求证：1＜＋＋＋＜2．答案：1．A　由＞，知a－2＞b－2⇒a＞b．又a－2＞0且b－2