高中数学 2.4等比数列教案（一）新人教a版必修5

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1、2.4　等比数列第一课时教学过程推进新课［合作探究］教师出示投影胶片：计算机病毒传播问题.一种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成一个什么样的数列呢?师(读题后)这种病毒每一轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢？引导学生发现“病毒制造者发送病毒称为第一轮”“每一轮感染20台计算机”中蕴涵的等比关系.生发现等比关系，写出一个无穷等比数列：1，20，202，203，204，…　　①教师出示多媒体课件

2、二：银行存款利息问题.师介绍“复利”的背景：“复利”是我国现行定期储蓄中的一种支付利息的方式，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”.我国现行定期储蓄中的自动转存业务实际上就是按复利支付利息的.给出计算本利和的公式：本利和=本金×(1+本金)n，这里n为存期.生列出5年内各年末的本利和，并说明计算过程.师生合作讨论得出“时间”“年初本金”“年末本利和”三个量之间的对应关系，并写出：各年末本利和(单位：元)组成了下面数列：10000×1.0198，10000×1.01982，10000×1.01983，10000×1.01984，10

3、000×1.01985.　②师回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上面的数列①②③④，说说它们有什么共同特点？师引导学生类比等差关系和等差数列的概念，发现等比关系.师从上面的数列①②中我们发现了它们的共同特点是：具有等比关系.如果我们将具有这样特点的数列称之为等比数列，那么你能给等比数列下一个什么样的定义呢？生回忆等差数列的定义，并进行类比，说出：一般地，如果把一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.［教师精讲］师同学们概括得很好，这就是等比数列(geometricsequence)的定义.有些书籍把等比数列的英文缩写记作G.

4、P.(Geometric　Progression).我们今后也常用G.P.这个缩写表示等比数列.定义中的这个常数叫做等比数列的公比(commonratio)，公比通常用字母q表示(q≠0).请同学们想一想，为什么q≠0呢？生独立思考、合作交流、自主探究.师假设q=0，数列的第二项就应该是0，那么作第一项后面的任一项与它的前一项的比时就出现什么了呢？生分母为0了.师对了，问题就出在这里了，所以，必须q≠0.师那么，等比数列的首项能不能为0呢？生等比数列的首项不能为0.师是的，等比数列的首项和公比都不能为0，等比数列中的任一项都不会是0.［合作探究］师类比等差中项的概念，请同

5、学们自己给出等比中项的概念.生如果在a与b中间插入一个数G，使a、G、b成等比数列，那么G叫做a、b的等比中项.师想一想，这时a、b的符号有什么特点呢？你能用a、b表示G吗？生一起探究,a、b是同号的，G=±，G2=ab.师观察学生所得到的a、b、G的关系式，并给予肯定.补充练习：与等差数列一样，等比数列也具有一定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2倍，即an-k+an+k=2an.对于等比数列来说，有什么类似的性质呢？生独立探究，得出：等比数列有类似的性质：an-k·an+k=an2.［合作探究］探究：(1)一个数列a1,a2,a3,…,

6、an,…(a1≠0)是等差数列，同时还能不能是等比数列呢？(2)写出两个首项为1的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？写出两个公比为2的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？(3)任一项an及公比q相同，则这两个数列相同吗？(4)任意两项am、an相同，这两个数列相同吗？(5)若两个等比数列相同，需要什么条件？师引导学生探究，并给出(1)的答案，（2)(3)(4)可留给学生回答.生探究并分组讨论上述问题的解答办法，并交流(1)的解答.［教师精讲］概括总结对上述问题的探究，得出：(1)中，既是等差数列又是等比数列的数列是存在的，每一个非零常数列都是公差为0，公比为

7、1的既是等差数列又是等比数列的数列.概括学生对(2)(3)(4)的解答.(2)中，首项为1，而公比不同的等比数列是不会相同的；公比为2，而首项不同的等比数列也是不会相同的.(3)中，是指两个数列中的任一对应项与公比都相同，可得出这两个数列相同；(4)中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同；(5)中，结论是：若两个数列相同，需要“首项和公比都相同”.(探究的目的是为了说明首项和公比是决