《复习资料》word版

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1、第八章空间解析几何与向量代数内容提要一、向量代数1.向量的概念⑴定义.具有大小和方向的量称为向量(或矢量),记作或,其中为起点,是终点.大小相等,方向相同的两向量称为相等.⑵向量的模：向量的大小称为向量的模,记作或.①零向量:模为零的向量,记作0(或).零向量方向不定.②单位向量:模等于1的向量.③负向量:与的大小相等,方向相反的向量,称为的负向量,记作.⑶向量的坐标表示将向量的起点与坐标系原点重合,其终点的坐标称为向量的坐标,记作,或,于是.的方向余弦为,,,且.设有两点,,则.2.向量的运算⑴加法.平行四边形法则、三角形法则．设,,则.⑵数乘.,为实数．⑶数量积（或点乘、

2、点积、无向积）①定义　　.②坐标表示.设,,则.③基本性质.1)；2)；3)；4)或.⑷向量在向量上的投影,常称为向量在向量上的投影.记为.⑸向量积(叉乘).34①定义.与的向量积是一个向量,其模为,方向垂直于与,且,与成右手系.模等于以,为邻边的平行四边形的面积.②坐标表示.设,,则.③基本性质.1)；2)；3)；4)或.⑹混合积.①定义称为向量,,的混合积,其中.②坐标表示　　③基本性质.1)轮换对称:2)3),,共面④几何意义:等于以,,为棱的平行六面体的体积.二、空间的平面与直线1.平面方程⑴点法式方程,其中为平面上已知点,为平面的法向量.⑵一般式方程..若其中有一个

3、或两个为零,则法向量垂直于相对应的一个或两个坐标轴.⑶三点式方程.过平面上三点的方程为⑷截距式方程,其中分别为平面在轴上的截距.2.两平面之间的位置关系两平面,,则34⑴⑵⑶夹角⑷点到平面的距离为3.直线的方程设直线的方向向量为,为直线上一点.⑴参数方程,⑵标准方程⑶一般方程⑷两点式方程已知直线上两点与,则4.两直线间的位置关系设两直线,,⑴异面:⑵相交:且⑶⑷夹角,其中,,.⑸平行:⑹重合:⑺两条异面直线的距离已知和是异面直线,其中为参数,,34分别为直线与的方向向量,与分别为与上的点,则与之间的距离为.5.平面束方程过直线的平面束方程为当所求平面过用一般方程表示的直线时,

4、用平面束方程处理很有效.三﹑曲面和空间曲线1.曲面方程⑴一般方程.⑵参数方程,其中为平面上某一区域.2.空间曲线的方程⑴一般方程⑵参数方程,3.常见二次曲面的标准方程⑴球面,其中点为球心,是球的半径.⑵椭球面⑶单叶双曲面⑷双叶双曲面⑸椭圆抛物面⑹双曲抛物面⑺二次锥面(时为圆锥面)⑻二次柱面椭圆柱面(为圆柱面)双曲柱面:抛物柱面.34典型例题解析例1已知两直线方程和,求过且平行于的平面方程.解直线、的方向向量分别为,.因为平面过且平行于,所以平面的法向量为,由于平面过,所以点在平面上,故平面方程为,即.例2求与平面平行,而使点与这两平面的距离相等的平面方程.解平面的法向量为,故

5、所求平面的方程可设为又点到该平面距离为而点到平面的距离为由或,从而所求平面的方程为或.例3直线与平面是否平行?若不平行,求交点；若平行,求直线和平面间的距离.方法一因为直线是两平面的交线,所以直线的方向向量应与两平面的法向量,都垂直,从而.方法二在直线上任取两点,比如说令和,由直线的方程即得到两点,,从而得到直线的方向向量.34方法三求出直线的标准式方程,根据此题中直线的特点,两平面方程都缺少一变量,很容易导出因此即为直线的标准式方程,从而得到直线的方向向量.平面的法向量是,因为,也就是,根据直线和平面的关系知直线与平面平行.在直线上任取一点,这一点到平面的距离即为直线到平面

6、的距离,令,代入直线的方程解得,从而直线到平面的距离为.例4求直线绕轴旋转而成的旋转曲面方程.解此直线的参数方程为我们暂且选定一个,则平面与所求的旋转曲面的交线应为一圆周,圆心在,因为点在此圆周上,所以圆周的半径.再利用圆周的参数方程可得到此圆周参数方程为当把上述方程中的作为参数时,且取值在上,则上式即是所求的旋转曲面的参数方程.将参数和消去,即得到这个旋转曲面的一般方程为.注一般的空间曲线,绕轴旋转而成的旋转曲面方程为,消去参数34就可得到旋转曲面的一般方程.例5求曲线分别绕轴和轴旋转所产生的旋转曲面方程.解曲线绕轴旋转所产生的旋转曲面方程为；绕轴旋转所产生的旋转曲面方程为

7、.总习题八选解2.在轴上求与点和点等距离的点.解设所求点为,由题意,有,即,解得,即为所求点.3.已知的顶点为、和,求从顶点所引中线的长度.解中点的坐标为,中线的长度为.6.设,,,求.解,,因为,所以解得.7.设,,,求向量与的夹角.解,,设为所求夹角,则有,34所以所求夹角为.8.设,,求.解见“典型例题解析”例6.9.设,,问为何值时,最小?并求此最小值.解记,则,为了简化问题,考虑到是严格单调下降的函数,故问题可转化为求的最大值.,令,得唯一驻点,且由附近导数的符号变化可知,为极大值点,也是最大