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《沭阳梦溪中学数学联赛模拟试卷（一）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、沭阳梦溪中学数学联赛模拟试卷（一）一、填空题1．如果二次方程N*)的正根小于3,那么这样的二次方程有7个解：由,知方程的根为一正一负．设，则,即.由于N*，所以或.于是共有7组符合题意．2.设,那么的最小值是4解：由,可知,所以，.3.一条走廊宽2m,长8m,用6种颜色的11m的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的,每种颜色的地砖都足够多),要求相邻的两块地砖颜色不同,那么所有的不同拼色方法有个解：铺第一列(两块地砖)有种方法；其次铺第二列．设第一列的两格铺了、两色(如图)，那么，第二列的上格不能铺色．若铺色，则有种铺法；
2、若不铺色，则有种方法.于是第二列上共有种铺法.同理，若前一列铺好，则其后一列都有种铺法．因此，共有种铺法．4.已知函数的图象如图，则满足的的取值范围为 ．yOx1（第9题）解：因为，所以.于是，由图象可知，，即，解得.故x的取值范围为．5.与圆外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为或.解由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x轴负半轴上.所以轨迹方程为，或.6.在中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则=3.解切割化弦，已知等式即，亦即
3、，即=1，即.所以，，故7.设命题:，命题:对任何R，都有.命题与中有且仅有一个成立，则实数的取值范围是或.解：由得．由对于任何R成立，得，即．因为命题、有且仅有一个成立，故实数的取值范围是或．8.设向量绕点逆时针旋转得向量,且,则向量（－，）.解：设,则,所以.即解得因此，.故填．9.设无穷数列的各项都是正数,是它的前项之和,对于任意正整数,与2的等差中项等于与2的等比中项,则该数列的通项公式为an=4n－2(n∈N*).解：由题意知，即.………①由得,从而.又由①式得,………②于是有,整理得.因,故．所以数列是以为首
4、项、为公差的等差数列，其通项公式为，即.故填N*)．10.在长方体中,,点、、分别是棱、与的中点,那么四面体的体积是V=.解：在的延长线上取一点，使.易证，，平面．故．而，G到平面的距离为．故填．二、计算题11．△中，，、分别是边上的高和中线，且．证明是直角．解．如图，取中点，连、．则为中位线，所以，且．而，所以．…………①在直角△中，为斜边中点，所以，从而．…………②联合①、②得、、、四点共圆．所以，∴，即．12.A、B为双曲线上的两个动点，满足。（Ⅰ）求证：为定值；（Ⅱ）动点P在线段AB上，满足，求证：点P在定圆上.
5、证（Ⅰ）设点A的坐标为，B的坐标为，则，，A在双曲线上，则.所以.……5分由得，所以，.同理，，所以.……10分（Ⅱ）由三角形面积公式，得，所以，即.即.于是，.即P在以O为圆心、为半径的定圆上.……1513.设椭圆的方程为,线段是过左焦点且不与轴垂直的焦点弦.若在左准线上存在点,使为正三角形,求椭圆的离心率Q＇的取值范围,并用表示直线的斜率.解：如图,设线段的中点为．过点、、分别作准线的垂线,垂足分别为、、,则．……………6分假设存在点，则，且，即，所以，．…………………………12分于是，，故．若(如图)，则.…………
6、…18分当时,过点作斜率为的焦点弦,它的中垂线交左准线于,由上述运算知,．故为正三角形.…………21分若，则由对称性得．………………24分又,所以，椭圆的离心率的取值范围是，直线的斜率为．14.能否将下列数组中的数填入3×3的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明.（Ⅰ）2,4,6,8,12,18,24,36,48；（Ⅱ）2,4,6,8,12,18,24,36,72.解（Ⅰ）不能.……5分因为若每行的积都相等，则9个数的积是立方数.但是36
7、2248121867242×4×6×8×12×18×24×36×48=21+2+1+3+2+1+3+2+4×3=219·38不是立方数，故不能.（Ⅱ）可以.……15分如右表表中每行、每列及对角线的积都是26·23.……20分
