高三数学大一轮复习讲义 3.1导数的概念及其运算 理 新人教a版

《高三数学大一轮复习讲义 3.1导数的概念及其运算 理 新人教a版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§3.1　导数的概念及其运算2014高考会这样考　1.利用导数的几何意义求切线方程；2.考查导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导．复习备考要这样做　1.理解导数的意义，熟练掌握导数公式和求导法则；2.灵活进行复合函数的求导；3.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程．1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为.2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)

2、或y′

3、x＝x0，即f′(x0)＝＝.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.4．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝__0__f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0)f′(x)＝axln_af(x)＝

4、exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝　　5.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)．6．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．[难点正本　疑点清源]1．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数f(x)在点x0处的导数f

5、′(x0)是一个常数；(2)函数y＝f(x)的导函数，是针对某一区间内任意点x而言的．如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内每一点x都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0都对应着一个确定的导数f′(x0)．这样就在开区间(a，b)内构成了一个新函数，就是函数f(x)的导函数f′(x)．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数．2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点

6、P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．1．f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为________．答案　3解析　∵f′(x)＝x2＋2，∴f′(－1)＝(－1)2＋2＝3.2.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝______.答案　2解析　如图可知，f(5)＝3，f′(5)＝－1，因此f(5)＋f′(5)＝2.3．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.答案　－2解析　由题意得f′(x)＝2x＋3f′(

7、2)，∴f′(2)＝2×2＋3f′(2)，∴f′(2)＝－2.4．已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于3x－y＝0，则点P的坐标为________．答案　(1,0)解析　由题意知，函数f(x)＝x4－x在点P处的切线的斜率等于3，即f′(x0)＝4x－1＝3，∴x0＝1，将其代入f(x)中可得P(1,0)．5．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为____________．答案　y＝2x＋1解析　易知点(－1，－1)在曲线上，且y′＝＝，∴切线斜率k＝y′

8、x＝－1＝＝2.由点斜式得切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.题型一　利用定义

9、求函数的导数例1　利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线与曲线f(x)＝x3的交点．思维启迪：正确理解导数的定义，理解导数的几何意义是本题的关键．解　f′(x0)＝＝＝(x2＋xx0＋x)＝3x.曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线方程为y－x＝3x·(x－x0)，即y＝3xx－2x，由得(x－x0)2(x＋2x0)＝0，解得x＝x0，x＝－2x0.若x0≠0，则交点坐标为(x0，x)，(－2x0，－8x)；若x0＝0，则交点坐标为(0,0)．探究提高　求函数f(x)的导