高中数学 2.3.1 直线与平面垂直的判定素材 新人教a版必修2

《高中数学 2.3.1 直线与平面垂直的判定素材 新人教a版必修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2．3.1　直线与平面垂直的判定1．直线与平面垂直．(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α垂直，记作l⊥α；直线l叫做平面α的垂线；平面α叫做直线l的垂面；直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．(2)画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．(3)判定定理：文字描述，一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.如右图所示，PA⊥CD，ABCD是正方形，求证：CD⊥平面PAD.证明：因为PA⊥CD，又ABCD是正方形，所以AD⊥C

2、D，又PA与AD相交，所以CD⊥平面PAD.2．直线与平面所成的角．(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不垂直，这条直线称为平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做直线和平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．(2)特别的，当直线AP与平面α垂直时，它们所成的角是90°；当直线与平面平行，或在平面内时，它们所成的角是0°．(3)直线和平面所成角θ的范围[0°，90°]．直线与平面不垂直时，能否在平面内找到两条直线与这条直

3、线垂直？答案：能两条直线垂直就一定相交吗？答案：错　　　　　　　　　　　　　　　►思考应用1．“两条平行直线能确定一个平面，一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则这条直线也垂直于这个平面．”这个结论对吗？解析：不正确．实际上，由公理4可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内的平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线垂直．2．异面直线所成的角的定义及范围是什么？解析：异面直线所成的角是通过作平行线得到的，即异面直线a与b所成的角，在空间中任取一点O，过O作a′∥a，b′∥b，则a′与b′的夹角就是a与b所成的角，

4、其范围为(0°，90°]．1．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，则能保证该直线与平面垂直的是(A)A．①③B．②C．②④D．①②④解析：①③能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，②④中的两直线有可能平行．2．若斜线段AB是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB与平面α所成的角是(A)A．60°B．45°C．30°D．120°解析：AB与平面α所成的角，即AB与其在平面α射影所成的角，由已知得为60°.3．如果直线l和平面α内的两条平行线垂直，那么下列结论正确的是(D)A．l⊂αB．l与α相交C．

5、l∥αD．都有可能4．已知a，b是异面直线，下列结论不正确的是(D)A．存在无数个平面与a，b都平行B．存在一个平面与a，b等距离C．存在无数条直线与a，b都垂直D．存在一个平面与a，b都垂直5．三条直线两两垂直，下列四个命题：①三条直线必共点；②其中必有两条直线是异面直线；③三条直线不可能在同一平面内；④其中必有两条直线在同一平面内．其中真命题的序号是③．解析：两条直线垂直不一定相交，只有③正确．1．下列说法中错误的是(D)①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；②如果一条直线和平面的一条平行线垂直，该直线必在这个平面内；③如果一条直线和

6、平面的一条垂线垂直，该直线必定在这个平面内；④如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线．A．①②B．②③④C．①②④D．①②③解析：由线面垂直的判定定理可得①②③错误．2．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是(B)A．(0°，90°)B．[0°，90°]C．[0°，180°]D．[0°，180°)3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点，则直线BE与平面ABCD所成角的正切值为________．解析：取AD的中点F，连接EF、BF，则EF∥PA，由侧棱PA⊥底

7、面ABCD，∴EF⊥底面ABCD，则∠EBF为BE与平面ABCD所成角．答案：4．设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面AC外一点且有PA＝PC，PB＝PD，则PO与平面ABCD的关系是________．答案：垂直5．给出下列命题：①若直线a⊥平面α，且直线a⊥直线b，则b⊥平面α；②如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；③如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．其中正确命题的序号是________．解析：解答此类问题的关键是正确理解和掌握好直线与平面垂直的定义，对不正确的命题，可通过举

8、反例说明．①b与平面α可