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时间:2018-12-21
《2017高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.3.2抛物线的几何性质对点训练理》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2017高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.3.2抛物线的几何性质对点训练理1.如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( )A. B.C.D.答案 A解析 由题可知抛物线的准线方程为x=-1.如图所示,过A作AA2⊥y轴于点A2,过B作BB2⊥y轴于点B2,则===.2.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若=4,则
2、QF
3、=( )A.B.3C.D.2答案 B解析 如图,由抛物线的定义知焦点到准线的距离p=
4、FM
5、=4
6、.过Q作QH⊥l于H,则
7、QH
8、=
9、QF
10、.由题意,得△PHQ∽△PMF,则有==,∴
11、HQ
12、=3.∴
13、QF
14、=3.3.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为( )A.-B.-1C.-D.-答案 C解析 由点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,得焦点F(2,0),∴kAF==-,故选C.4.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、
15、FM
16、为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是( )A.(0,2)B.[0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)答案 C解析 设圆的半径为r,因为F(
17、0,2)是圆心,抛物线C的准线方程为y=-2,由圆与准线相交知418、FM19、=y0+2>4,所以y0>2.故选C.5.平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为________.答案 解析 由题意,双曲线的渐近线方程为y=±x,抛物线的焦点坐标为F.不妨设点A在第一象限,由,解得或,故A.所以kAF==.由已知F为△OAB的垂心,所以直线AF与另一条渐近线垂直,故kAF·=-1,即×=-1,整理得b2=a2,20、所以c2=a2+b2=a2,故c=a,即e==.6.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为________.答案 x=-2解析 ∵c2=9-5=4,∴c=2.∴椭圆+=1的右焦点为(2,0),∴=2,∴抛物线的准线方程为x=-2.7.已知A是抛物线y2=4x上一点,F是抛物线的焦点,直线FA交抛物线的准线于点B(点B在x轴上方),若21、AB22、=223、AF24、,则点A的坐标为________.答案 (3,-2)或解析 依题意,①若点A位于x轴上方,过点A作抛物线的准线的垂线,垂足记为A1,则有25、AB26、=227、AF28、=229、AA130、,∠BAA1=60°,直线AF的倾斜角为31、120°.又点F(1,0),因此直线AF:y=-(x-1).由得,此时点A的坐标是.②若点A位于x轴下方,则此时点F(1,0)是线段AB的中点,又点B的横坐标是-1,故点A的横坐标是2×1-(-1)=3,相应的纵坐标是y=-=-2,点A的坐标是(3,-2).综上所述,点A的坐标是(3,-2)或.8.已知△ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,=3.(1)若32、PF33、=3,求点M的坐标;(2)求△ABP面积的最大值.解 (1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.设P(x0,y0),由抛物线定义知34、PF35、=y0+1,得到y0=2,所以P(2,2)36、或P(-2,2).由=3,分别得M或M.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).由得x2-4kx-4m=0.于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),所以由x=4y0得k2=-m+.由Δ>0,k2≥0,得-37、AB38、=4·,点F(0,1)到直线AB的距离为d=.所以S△ABP=4S△ABF=839、m-140、=.记f(m)=3m3-5m2+m+1.令f′(m)=9m2-10m+1=0,解得m1=,m2=1.可41、得f(m)在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数.又f=>f.所以,当m=时,f(m)取到最大值,此时k=±.所以,△ABP面积的最大值为.9.设点P(x,y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点),点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.(1)求点P的轨迹方程;(2)若直线l:y=kx+1与点P的轨迹相交于A、B两点,且42、AB43、=2,求k的值;(3)设点P的轨迹是曲线
18、FM
19、=y0+2>4,所以y0>2.故选C.5.平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为________.答案 解析 由题意,双曲线的渐近线方程为y=±x,抛物线的焦点坐标为F.不妨设点A在第一象限,由,解得或,故A.所以kAF==.由已知F为△OAB的垂心,所以直线AF与另一条渐近线垂直,故kAF·=-1,即×=-1,整理得b2=a2,
20、所以c2=a2+b2=a2,故c=a,即e==.6.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为________.答案 x=-2解析 ∵c2=9-5=4,∴c=2.∴椭圆+=1的右焦点为(2,0),∴=2,∴抛物线的准线方程为x=-2.7.已知A是抛物线y2=4x上一点,F是抛物线的焦点,直线FA交抛物线的准线于点B(点B在x轴上方),若
21、AB
22、=2
23、AF
24、,则点A的坐标为________.答案 (3,-2)或解析 依题意,①若点A位于x轴上方,过点A作抛物线的准线的垂线,垂足记为A1,则有
25、AB
26、=2
27、AF
28、=2
29、AA1
30、,∠BAA1=60°,直线AF的倾斜角为
31、120°.又点F(1,0),因此直线AF:y=-(x-1).由得,此时点A的坐标是.②若点A位于x轴下方,则此时点F(1,0)是线段AB的中点,又点B的横坐标是-1,故点A的横坐标是2×1-(-1)=3,相应的纵坐标是y=-=-2,点A的坐标是(3,-2).综上所述,点A的坐标是(3,-2)或.8.已知△ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,=3.(1)若
32、PF
33、=3,求点M的坐标;(2)求△ABP面积的最大值.解 (1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.设P(x0,y0),由抛物线定义知
34、PF
35、=y0+1,得到y0=2,所以P(2,2)
36、或P(-2,2).由=3,分别得M或M.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).由得x2-4kx-4m=0.于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),所以由x=4y0得k2=-m+.由Δ>0,k2≥0,得-37、AB38、=4·,点F(0,1)到直线AB的距离为d=.所以S△ABP=4S△ABF=839、m-140、=.记f(m)=3m3-5m2+m+1.令f′(m)=9m2-10m+1=0,解得m1=,m2=1.可41、得f(m)在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数.又f=>f.所以,当m=时,f(m)取到最大值,此时k=±.所以,△ABP面积的最大值为.9.设点P(x,y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点),点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.(1)求点P的轨迹方程;(2)若直线l:y=kx+1与点P的轨迹相交于A、B两点,且42、AB43、=2,求k的值;(3)设点P的轨迹是曲线
37、AB
38、=4·,点F(0,1)到直线AB的距离为d=.所以S△ABP=4S△ABF=8
39、m-1
40、=.记f(m)=3m3-5m2+m+1.令f′(m)=9m2-10m+1=0,解得m1=,m2=1.可
41、得f(m)在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数.又f=>f.所以,当m=时,f(m)取到最大值,此时k=±.所以,△ABP面积的最大值为.9.设点P(x,y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点),点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.(1)求点P的轨迹方程;(2)若直线l:y=kx+1与点P的轨迹相交于A、B两点,且
42、AB
43、=2,求k的值;(3)设点P的轨迹是曲线
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