2016_2017学年高中数学第二章解三角形2.2三角形中的几何计算课后演练提升北师大版

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1、2016-2017学年高中数学第二章解三角形2.2三角形中的几何计算课后演练提升北师大版必修5(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为(　　)A.　　　　　　　　　　　B.C.D．9解析：　设另一条边为x，则x2＝22＋32－2×2×3×，∴x2＝9，∴x＝3.设cosθ＝，则sinθ＝.∴2R＝＝＝.答案：　B2．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于(　

2、　)A.B．1＋C.D．2＋解析：　∵2b＝a＋c，S＝acsinB＝，∴ac＝6.∴b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2accosB－2ac.∴b2＝4b2－6－12，∴b2＝2＋4，b＝1＋.答案：　B3．锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是(　　)A．1＜a＜3B．1＜a＜C.＜a＜D．不确定解析：　若c为最大边，则有b2＋a2－c2＝a2－3＞0，∴a＞；若a为最大边，则有b2＋c2－a2＝5－a2＞0，∴a＜，∴＜a＜.答案：　C4．一梯形的两腰长分别为2和6，它的一个底角为60°，则它的另一个底角的余弦值为(

3、　　)A.B.C．±D．±解析：　如图所示，设梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝60°，在过点D作AB的平行线DB′与BC相交于B′.在△B′CD中，B′D＝AB＝6，CD＝2，∠C＝60°，∠DB′C＝∠B，于是由正弦定理知：＝，∴sin∠DB′C＝·sinC＝×sin60°＝，∴cos∠DB′C＝＝＝.∴cos∠B＝，故选B.答案：　B二、填空题(每小题5分，共10分)5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若(b－c)cosA＝acosC，则cosA＝________.解析：　根据正弦定理的变形a＝2RsinA，b＝2Rsi

4、nB，c＝2RsinC，故(b－c)cosA＝acosC，等价于：(×2RsinB－2RsinC)cosA＝2RsinAcosC，整理得sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB.又sinB≠0，∴cosA＝.答案：　6．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于________．解析：　由余弦定理得BD2＝22＋22－2×2×2cos120°＝12.∴BD＝2.∵BC＝CD＝2，∠C＝120°，∴∠CBD＝30°，∴∠ABD＝90°.∴S四边形＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2sin90°＋×

5、2×2×sin120°＝5.答案：　5三、解答题(每小题10分，共20分)7．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，又c＝，b＝4，且BC边上的高h＝2.(1)求角C；(2)求a边的长．解析：　(1)△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D点，sinC＝＝，则C＝60°(2)又由余弦定理可知：c2＝a2＋b2－2abcosC则()2＝42＋a2－2×4×a×，即a2－4a－5＝0，∴a＝5或a＝－1(舍)．因此所求角C＝60°，a边长为5.8.如图所示，四边形ABCD中，已知∠A＝120°，∠ABC＝90°，AD＝3，BC＝3

6、，BD＝7，求(1)AB的长；(2)CD的长．解析：　(1)在△ABC中，设AB＝x，由余弦定理得，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠A，即72＝x2＋32－2x·3·cos120°，∴x2＋3x－40＝0，(x－5)(x＋8)＝0，∴x1＝5或x2＝－8(舍)，即AB＝5.(2)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，∴sin∠ABD＝＝.在△BCD中，由余弦定理，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos∠CBD＝27＋49－2×3×7cos(90°－∠ABD)＝27＋49－2×3×7×＝49，∴CD＝7.☆☆☆9．(10分)在△

7、ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c＝，且tanA＋tanB＝tanA·tanB－，又△ABC的面积为S△ABC＝，求a＋b的值．解析：　由tanA＋tanB＝tanA·tanB－可得＝－，即tan(A＋B)＝－.∴tan(π－C)＝－，∴－tanC＝－，∴tanC＝.∵C∈(0，π)，∴C＝.又△ABC的面积为S△ABC＝，∴absinC＝，即ab×＝，∴ab＝6.又由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC，∴2＝a2＋b2－2abcos，∴2＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，∴(a＋b)2＝，∵a＋b>0，∴

8、a＋b＝.