2018版高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题5解析几何第11讲直线与圆教学案理

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1、第11讲　直线与圆题型1　圆的方程(对应学生用书第38页)■核心知识储备………………………………………………………………………·1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F＞0，表示以为圆心，为半径的圆．■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题1】　(考查应用圆的几何性质求圆的方程)(2017·山西运城二模)已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距

2、离为，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为________.【导学号：07804079】[解析]　设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点C到x轴，y轴的距离分别为

3、b

4、，

5、a

6、.由题意可知∴或故所求圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2.[答案]　(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2【典题2】　(考查待定系数法求圆的方程)(2017·广东七校联考)一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2，则该圆的方程为________．[思路分析]　法一：利

7、用圆心在直线x－3y＝0上设圆心坐标为(3a，a)→利用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形列出关于a的方程，求解a的值→得出圆的方程；法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2→利用条件列出关于a，b，r的方程组→解方程组，得出圆的方程；法三：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0→利用条件列出关于D、E、F的方程组→解方程组，得出圆的方程．[解析]　法一：(几何法)∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴设所求圆的圆心为(3a，a)，又所求圆与y轴相切，∴半径r＝3

8、a

9、，又所求圆在直线y＝x上截得的弦长为2，圆心(3a，a)到直线y＝x的距离d＝，∴d

10、2＋()2＝r2，即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.法二：(待定系数法：标准方程)设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则{①由于所求圆与y轴相切，∴r2＝a2，②又∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，∴a－3b＝0，③联立①②③，解得或故所求圆的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝9或(x－3)2＋(y－1)2＝9.法三：(待定系数法：一般方程)设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为，半径r＝.在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.由于所求圆与y

11、轴相切，∴Δ＝0，则E2＝4F.①圆心到直线y＝x的距离为d＝，由已知得d2＋()2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．②又圆心在直线x－3y＝0上，∴D－3E＝0.③联立①②③，解得或故所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.[答案]　x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0[类题通法]求圆的方程的两种方法1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．■对点即时训练…………………………………

12、……………………………………·1．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则点(k，b)所在的圆为(　　)A.＋(y＋5)2＝1B.＋(y－5)2＝1C.＋(y－5)2＝1D.＋(y＋5)2＝1A　[由题意知直线y＝kx与直线2x＋y＋b＝0互相垂直，所以k＝.又圆上两点关于直线2x＋y＋b＝0对称，故直线2x＋y＋b＝0过圆心(2,0)，所以b＝－4，结合选项可知，点在圆＋(y＋5)2＝1上，故选A.]2．抛物线y2＝4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，其准线与x轴的交点为M，则过M，A，B三点的圆的标准方程为_

13、_______.【导学号：07804080】(x－1)2＋y2＝4　[∵抛物线y2＝4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，∴A，B两点的坐标分别为：(1,2)，(1，－2)，又准线与x轴的交点为M，∴M点的坐标为(－1,0)，则过M，A，B三点的圆的圆心在x轴，设圆心坐标为O(a,0)，则

14、OA

15、＝

16、OM

17、，即＝a－(－1)，解得a＝1.∴圆心坐标为(1,0)，半径为2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.]■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T1、T3、T11、T13)题型2　直