2018版高中数学第三章空间向量与立体几何疑难规律方法学案新人教a版选修2

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1、第三章空间向量与立体几何1　空间向量加减法运用的三个层次空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算.第1层　用已知向量表示未知向量例1　如图所示，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，，表示和.解　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋(－)＝＋×(＋)＝＋＋；＝＋＝＋＝＋(－)＝＋(－)＝＋×(＋)＝＋＋.点评　用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等

2、于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.第2层　化简向量例2　如图，已知空间四边形ABCD，连接AC、BD.设M、G分别是BC、CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量.(1)＋＋；(2)＋(＋)；(3)－(＋).解　(1)＋＋＝＋＝.(2)＋(＋)＝＋＋＝＋＋＝.(3)－(＋)＝－＝.、、如图所示.点评　要求空间若干向量之和，可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构

3、成一个封闭图形，则它们的和为0.两个向量相加的平行四边形法则在空间仍成立，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行四边形法则.第3层　证明立体几何问题例3　如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B、G、N三点共线.证明　设＝a，＝b，＝c，则＝＋＝＋＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c，＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c＝.∴∥，即B、G、N三点共线.2　空间向量易错点扫描易错点1　对向量夹角与数量积的关系理解不清例1　“a·b<0”是“〈a，b〉为钝

4、角”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)错解　a·b<0⇔cos〈a，b〉＝<0⇔〈a，b〉为钝角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的充要条件.错因分析　错解中忽略了两个向量共线且反向的情况.剖析　当〈a，b〉＝π时，a·b<0，但此时夹角不为钝角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的必要不充分条件.正解　必要不充分总结　a·b<0⇔a与b夹角为钝角或a与b方向相反，a·b>0⇔a与b夹角为锐角或a与b方向相同.易错点2　忽略两向量的夹角的定义例2　如图所示

5、，在120°的二面角α－AB－β中，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长.错解　∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴·＝0，·＝0，∵二面角α－AB－β的平面角为120°，∴〈，〉＝120°.∴CD2＝2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos120°＝72，∴CD＝6.错因分析　错解中混淆了二面角的平面角与向量夹角的概念.向量，的夹角与二面角α－AB－β的平面角互补，而不是相等.正解　∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴·＝0，·＝0，

6、∵二面角α－AB－β的平面角为120°，∴〈，〉＝180°－120°＝60°.∴CD2＝2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos60°＝144，∴CD＝12.易错点3　判断是否共面出错例3　已知O、A、B、C为空间不共面的四点，a＝＋＋，b＝＋－，则与a、b不能构成空间的一个基底的是(　　)A.B.C.D.或错解　a＝＋＋，b＝＋－，相加得＋＝(a＋b)，所以、都与a、b共面，不能构成空间的一个基底，故选D.剖析　＋＝(a＋b)，说明＋与a、b共面，但不能认为、都与a、b共面.对A、B：设

7、＝xa＋yb，因为a＝＋＋，b＝＋－，代入整理得(x＋y－1)＋(x＋y)＋(x－y)＝0，因为O、A、B、C四点不共面，所以、、不共面，所以x＋y－1＝0，x＋y＝0，x－y＝0，此时，x、y不存在，所以a、b与不共面，故a、b与可构成空间的一个基底.同理a、b与也可构成空间的一个基底.对C：因为a＝＋＋，b＝＋－，相减有＝(a－b)，所以与a、b共面，故不能构成空间的一个基底.正解　C易错点4　混淆向量运算和实数运算例4　阅读下列各式，其中正确的是(　　)A.a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝cB.a·b＝0⇒a＝0或b

8、＝0C.(a·b)·c＝a·(b·c)D.·＝

9、

10、

11、

12、cos(180°－∠AOB)错解　A(或B或C)剖析　想当然地将向量的数量积运算和实数运算等价，以致出错.向量的数量积运算不满足消去律、结合律，故A、C错误；若a·b＝0⇒a＝0或b＝0或a⊥b，故B错误；·的夹角是180°－∠AOB.正解　D易错点5　忽略建系的