2018版高中数学第一章统计1.8最玄乘估计学案北师大版必修3

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1、1.8　最小二乘估计1．了解最小二乘法的思想及意义．(重点)2．会求线性回归方程并进行简单应用．(难点)[基础·初探]教材整理　最小二乘法及线性回归方程阅读教材P54～P59“信息技术应用”以上部分，完成下列问题．1．最小二乘法利用最小二乘法估计时，要先做出数据的散点图．如果散点图呈现一定的规律性，我们再根据这个规律进行拟合．如果散点图呈现出线性关系，我们可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行拟合．2．线性回归方程用表示，用表示，由最小二乘法可以求得b＝＝，a＝－b.这样得到的直线方程

2、y＝a＋bx称为线性回归方程，a、b是线性回归方程的系数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)回归直线总经过样本中的所有点．(　　)(2)由回归直线求出的值不是一个准确值．(　　)(3)任何一组数据，都可以由最小二乘法得出线性回归方程．(　　)【解析】　(1)×，回归直线不一定经过样本中的点，若经过所有点，则两变量为函数关系．(2)√，求出的值是一个估计值．(3)×，只有线性相关的数据才有线性回归方程．【答案】　(1)×　(2)√　(3)×[小组合作型]线性回归方程的应用　某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：

3、千元)的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b＝，a＝－b.【精彩点拨】　(1)借助最小二乘法求回归直线的斜率和截距．(2)根据b的值判断2007～2013年的人均收入情况，令t＝9求出y的值即为2015年

4、的收入情况．【自主解答】　(1)因为＝＝4，＝＝4.3，设回归方程为y＝bt＋a，代入公式，经计算得b＝＝＝，a＝－b＝4.3－×4＝2.3，所以，y关于t的回归方程为y＝0.5t＋2.3.(2)因为b＝＞0，所以2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入稳步增长，预计到2015年，该地区农村居民家庭人均纯收入y＝0.5×9＋2.3＝6.8(千元)，所以，预计到2015年，该地区农村居民家庭人均纯收入约6.8千元．用线性回归方程估计总体的一般步骤：(1)做出散点图，判断散点是否在一条直线附近.(2)如果散点在一条直线附近，用公式求出

5、a，b，并写出线性回归方程(否则求出回归方程是没有意义的).(3)根据线性回归方程对总体进行估计.[再练一题]1．2014年元旦前夕，某市统计局统计了该市2013年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：【导学号：63580015】年收入x(万元)24466677810年饮食支出y(万元)0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3(1)如果已知y与x是线性相关的，求线性回归方程；(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．(参考数据：xiyi＝117.7，x＝406)【解】　依题意可计算得＝6，＝1.83，2＝

6、36，＝10.98，又∵xiyi＝117.7，x＝406，∴b＝≈0.17.a＝－b＝0.81，∴y＝0.17x＋0.81.∴所求的线性回归方程为y＝0.17x＋0.81.(2)当x＝9时，y＝0.17×9＋0.81＝2.34.可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．[探究共研型]最小二乘法探究1　一个好的线性关系与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？【提示】　整体上最接近．探究2　设直线方程为y＝a＋bx，任意给定一个样本点A(xi，yi)，用什么样的方法刻画点与直线的距离更方便有效？【提示】　如图：法一　点到直线的

7、距离公式d＝.法二　[yi－(a＋bxi)]2.显然法二比法一更方便计算，所以我们用它表示二者之间的接近程度．探究3　如果有5个样本点，其坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，怎样刻画这些样本点与直线y＝a＋bx的接近程度？【提示】　[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋[y3－(a＋bx3)]2＋[y4－(a＋bx4)]2＋[y5－(a＋bx5)]2.探究4　任给一组数据，我们都可以由最小二乘法得出线性回归方程吗？【提示】　用最小二乘法求回归直线的前提是先判断所给数据具

8、有线性相关关系，否则求出的线性回归方程是无意义的．探究5　线性回归方程是否经过一定点？【提示】　线性回归方程恒过定点(，)．　关于人体的脂肪含量(百分比)和年龄关系的研究中，得到