新意不断亮点频现高考数学函数题解析

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1、新意不断亮点频现----2007年高考函数题赏析许晓进共青团安溪县委员会362400“以能力立意”是新高考数学命题的指导思想．高考在考查数学基础知识的同时，注重数学学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面．从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的“交汇点”处设计试题，是2007年高考数学命题的一大亮点，而函数作为高中数学的核心内容，许多知识都可与其建立联系，从而围绕这根红线设计出了一大批内涵丰富、立意新颖、表述脱俗、背景鲜活、设问独特的好试题．下面分析函数试题的几个新亮点．亮点1：以图像和表格形式呈现函数问题，考查学生对函数定义本质的理解函数的表示形式主

2、要有三种形式，即表格、图像和解析式，而表格和图像两种形式表达函数则较为直观、形象，这样命题既考查考生对函数定义的理解，又考查考生的阅读理解能力和分析、转化、解决问题的能力，似有“返璞归真”之意，体现高考对基础知识的考查力度和考查形式．（毫克）（小时）例1（湖北文理）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为；（II）据测定，当空气中

3、每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室．解析：（I）由题意和图示，当时，可设（为待定系数），由于点在直线上，将其代入解得；同理，当时，可得．∴为所求．（II）由题意可得，即得或或，由题意至少需要经过小时后，学生才能回到教室．10点评：本题属于阅读理解型试题，主要考查正比例函数、指数型函数、分段函数的基本知识以及数形结合思想和待定系数的方法，考查考生的阅读理解能力、识图能力、运算能力和运用函数思想解决实际应用问题的能力．本题图文并茂，形象直观，以图像呈现内容，让考生从图像当中提炼出有用信息，并加以解决，避免知识单一

4、化，实现知识的整合．例2（北京理）已知函数，分别由下表给出123131123321则的值为；满足的的值是．解析：=；当x=1时，，不满足条件；当x=2时，，满足条件；当x=3时，，不满足条件．∴只有x=2时，符合条件．点评：本题形式新颖、灵活，以表格形式出现，主要考查考生对图表的识别和理解能力，考查函数的基本问题，属于送分题．亮点2：以立体几何为载体考查函数问题，实现知识间的“交汇融合”例3（广东理）如图1所示，等腰三角形△ABC的底边AB=，高CD=3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE，

5、表示四棱锥P-ACEF的体积．（1）求的表达式；（2）当为何值时，V(x)取得最大值？（3）当取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值．图1解析：（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，易得：，，∴V(x)=（）．（2），所以时，，V(x)单调递增；时，单调递减；因此时，取得最大值．10（3）过F作MF//AC交AD与M,则，PM=，，在△PFM中，，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为．点评：本题主要考查函数、函数极值、导数及其应用、几何体体积计算、空间两异面直线所成角的计算等基础知识，考查数形结合思想以及空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．本题以立体几何搭建平

6、台，首先建立函数关系，是解决本题的关键，然后以导数作为工具求最值，实现知识的迁移和应用，思维跨度比较大，但顺利自然，贴切而又生动，真正实现了知识之间的融合与交汇，考查了学生的综合思维品质和驾驭数学知识解决数学问题的能力．另外，第（3）问还可以用向量方法去解决，此处略．例4（湖南理）如图2，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为（），且，点到平面的距离（km）．沿山脚原有一段笔直的公路可供利用．从点到山脚修路的造价为万元/km，原有公路改建费用为万元/km．当山坡上公路长度为km（）时，其造价为万元．已知，，，．（I）

7、在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小；（II）对于（I）中得到的点，在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小．（III）在上是否存在两个不同的点，，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论．ＯAEDBHP图2解析：（I）如图3，，，，由三垂线定理逆定理知，，所以是山坡与所成二面角的平面角，则，10．设，．则．记总造价为万元，据题设有．当，即时，总造价最小．（II）设，，总造价为万元，图3根据题设有．则，由，得．当时，，在内是减函数；当时，，在内是增