同济大学高等数学习题答案

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1、习题一解答1.在1,2,3,4,四个数中可重复地先后取两个数，写出这个随机事件的样本空间及事件A=“一个数是另一个数的2倍”，B=“两个数组成既约分数”中的样本点。解={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1)，（3，2），（3，3），（3，4），（4，1）（4，2），（4，3），（4，4）}；A={（1，2），（2，1），（2，4），（4，2）}；B={（1，2），（1，3}，（1，4），（2，1），（2，3），（3，1)，（3，2），（3，4），（4，1

2、）（4，3）}2.在数学系学生中任选一名学生．设事件A＝{选出的学生是男生}，B＝{选出的学生是三年级学生}，C＝{选出的学生是科普队的}．(1)叙述事件的含义．(2)在什么条件下，ABC＝C成立？(3)在什么条件下，CB成立？解(1)事件的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员．(2)由于ABCC，故ABC＝C当且仅当CABC．这又当且仅当CAB，即科普队员都是三年级的男生．(3)当科普队员全是三年级学生时，C是B的子事件，即CB成立．3.将下列事件用A，B，C表示出来：（1）只有C发生；（2）A发生而B，C都不

3、发生；（3）三个事件都不发生；（4）三个事件至少有一个不发生；（5）三个事件至少有一套（二个不发生）发生；（6）三个事件恰有二个不发生；（7）三个事件至多有二个发生；（8）三个事件中不少于一个发生。解（1）；（2）：（3）（4）；（5）；（6）；（7）；（8）。4.设A，B，C是三个随机事件，且0，,求A，B，C中至少有一个发生的概率．解设D＝{A，B，C中至少有一个发生}，则D＝A＋B＋C，于是P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)＋P(ABC)．又因为,而由P(AB

4、)＝0，有P(ABC)＝0，所以5.掷两枚匀称的硬币，求它们都是正面的概率．解设A＝{出现正正}，其基本事件空间可以有下面三种情况：(Ⅰ)Ω1＝{同面、异面}，n1＝2．(Ⅱ)Ω2＝{正正、反反、一正一反}，n2＝3．(Ⅲ)Ω3＝{正正、反反、反正、正反}，n3＝4．于是，根据古典概型，对于(Ⅰ)来说，由于两个都出现正面，即同面出现，因此，m1＝1，于是有．而对于(Ⅱ)来说，m2＝1，于是有．而对于(Ⅲ)来说，m3＝1，于是有．6.口袋中装有4个白球，5个黑球。从中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。解试验的基本事件

5、（样本点）总数，设A=“取得两个白球”，则A包含的基本事件数，有古典概型有7.两封信任意地向标号为1，2，3，4的四个邮筒投递，求：（1）第三个邮筒恰好投入一封信的概率；（2）有两个邮筒各有一封信的概率。解（1）设事件A表示“第三个邮筒恰好投入一封信”。两封信任意投入4个邮筒，共有42种等可能投法，组成事件A的不同投法有种，于是（2）设B表示“有两个邮筒各有一封信”，则8.在100个产品中有70件一等品，20件二等品，10件三等品，规定一、二等品为合格品，考虑这批产品的合格率与一、二等品率的关系。解设事件A，B分别表示产品

6、为一、二等品，显然事件A与B互补相容，并且事件表示产品为合格品，于是，,.可见9.三只外观相同的钢笔分别属于甲、乙、丙三人．如今三人各取一只，求：（1）恰好取到自己的笔的概率；（2）都没有取到自己的笔的概率．分析设D1＝{都取到自己的笔}，D2＝{都没有取到自己的笔}．这是一个古典概型问题．我们有n＝3!＝6．情况甲乙丙m每个人都取到自己的笔（与下相同）ABC1恰有两个人取到自己的笔ABC1恰有一个人取到自己的笔ACBCBABAC3三个人都没有取到自己的笔CABBCA2因此10.设随机事件B是A的子事件，已知P(A)＝1/

7、4，P(B)＝1/6，求P(B

8、A)．解因为BA，所以P(B)＝P(AB)，因此11.在100件产品中有5件是不合格的，无放回地抽取两件，问第一次取到正品而第二次取到次品的概率是多少？解设事件A＝{第一次取到正品}，B＝{第二次取到次品}．用古典概型方法求出由于第一次取到正品后不放回，那么第二次是在99件中(不合格品仍是5件)任取一件，所以由公式(1－4)，12.五个人抓一个有物之阄，求第二个人抓到的概率．解这是一个乘法公式的问题．设Ai＝{第i个人抓到有物之阄}(i＝1，2，3，4，5)，有所以13.加工某一零件共需经过

9、四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2％、3％、5％、3％，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率．解设，且相互独立，，由题意得，、、、从而14.一批零件共100个，其中有次品10个．每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第一、二次取到的是次品，第三次才取到正品的概率．解