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时间:2018-12-20
《高中数学竞赛讲义-高斯函数》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、高考资源网(ks5u.com)您身边的高考专家§28高斯函数数论函数,称为高斯函数,又称取整函数.它是数学竞赛热点之一.定义一:对任意实数是不超过的最大整数,称为的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数由、的定义不难得到如下性质:(1)的定义域为R,值域为Z;的定义域为R,值域为(2)对任意实数,都有.(3)对任意实数,都有.(4)是不减函数,即若则,其图像如图I-4-5-1;是以1为周期的周期函数,如图I-4-5-2.图Ⅰ—4—5—1图Ⅰ—4—5—2(5).其中.(6);特别地,(7),其中;一般有;特别地,.(8)
2、,其中.-7-www.ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网(ks5u.com)您身边的高考专家例题讲解1.求证:其中k为某一自然数.2.对任意的3.计算和式4.设M为一正整数,问方程,在[1,M]中有多少个解?5.求方程-7-www.ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网(ks5u.com)您身边的高考专家6.7.对自然数n及一切自然数x,求证:.8.求出的个位数字-7-www.ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网(ks5u.com)您身边的高考专家例题答案:1.证明:2为质数,n!中含2
3、的方次数为若故反之,若n不等于2的某个非负整数次幕,可设n=2sp,其中p>1为奇数,这时总可以找出整数t,使由于n!.这与已知矛盾,故必要性得证.2.解:因对一切k=0,1,…成立,因此,又因为n为固定数,当k适当大时,3.解:显然有:若503是一个质数,因此,对n=1,2,…,502,都不会是整数,但+可见此式左端的两数的小数部分之和等于1,于是,[]+故4.解:显然x=M是一个解,下面考察在[1,M]中有少个解.设x是方程的解.将代入原方程,化简得所以上式成立的充要条件是2[x]{x}为一个整数.-7-www.
4、ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网(ks5u.com)您身边的高考专家5.解:经检验知,这四个值都是原方程的解.6.这道题的原解答要极为复杂,现用数学归纳法证明如下.【证明】由于-7-www.ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网(ks5u.com)您身边的高考专家7.解:M=
5、f(x)
6、max=max{
7、f⑴
8、,
9、f(-1)
10、,
11、f(-)
12、}⑴若
13、-
14、≥1(对称轴不在定义域内部)则M=max{
15、f⑴
16、,
17、f(-1)
18、}而f⑴=1+a+bf(-1)=1-a+b
19、f⑴
20、+
21、f(-1)
22、≥
23、f⑴+f(
24、-1)
25、=2
26、a
27、≥4则
28、f⑴
29、和
30、f(-1)
31、中至少有一个不小于2∴M≥2>⑵
32、-
33、<1M=max{
34、f⑴
35、,
36、f(-1)
37、,
38、f(-)
39、}=max{
40、1+a+b
41、,
42、1-a+b
43、,
44、-+b
45、}=max{
46、1+a+b
47、,
48、1-a+b
49、,
50、-+b
51、,
52、-+b
53、}≥(
54、1+a+b
55、+
56、1-a+b
57、+
58、-+b
59、+
60、-+b
61、)≥[(1+a+b)+(1-a+b)-(-+b)-(-+b)]=≥综上所述,原命题正确.8.先找出的整数部分与分数部分.-7-www.ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网(ks5u.com)您
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