数值分析报告某实验报告材料51314

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1、数值分析实验报告数值分析实验报告姓名：张献鹏学号：173511038专业：冶金工程班级：重冶二班数值分析实验报告目　录1　拉格朗日插值11.1　问题背景11.2　数学模型11.3　计算方法11.4　数值分析22　复化辛普森求积公式22.1　问题背景22.2　数学模型32.3　计算方法32.4　数值分析53　矩阵的LU分解53.1　问题背景53.2　数学模型63.2.1　理论基础63.2.2　实例63.3　计算方法63.4　小组元的误差84　二分法求方程的根94.1　问题背景94.2　数学模型94.3　计算方法94.4　二分法的收敛性105　雅可比迭代求解方程组115.1　问题背景115.2　数

2、学模型115.2.1　理论基础115.2.2　实例11数值分析实验报告5.3　计算方法125.4　收敛性分析136　Romberg求积法136.1　问题背景136.2　数学模型：146.2.1　理论基础146.2.2　实例146.3　计算方法146.4　误差分析157　幂法167.1　问题背景167.2　数学模型167.2.1　理论基础167.2.2　实例177.3　计算方法177.4　误差分析188　改进欧拉法188.1　问题背景188.2　数学模型188.2.1　理论基础188.2.2　实例188.3　数学模型198.4　误差分析20数值分析实验报告1　拉格朗日插值1.1　问题背景对于函数

3、,求拉格朗日插值。，把和插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较，观察数值积分中的Lagrange插值。1.2　数学模型取等距差值节点xk=-5+10k/n，k=0，1，…..，n，构造n次lagrange插值多项式：Ln=i=0n11+xi2wn+1(x)(x-xi2)wn+1'(xi)当n=10时，十次插值多项式L10(x)以及函数f(x)的图像可以由Matlab画出。1.3　计算方法f.m：functionf=f(x)f=1./(1+x.^2);endLagrange.mfunctiony=Lagrange(x0,y0,x);n=length(x0);m=length(x);fori=1:

4、mz=x(i);s=0.0;fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;End20数值分析实验报告拉格朗日插值的曲线：x=[-5:1:5];y=1./(1+x.^2);x0=[-5:0.001:5];y0=Lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.^2);plot(x0,y0,'b')holdonplot(x0,y1,'r')运行这个文件可以得到如下拉格朗日图形曲线：1.4　数值分析L10(x)的断误差R10(x)=f(x)-L10(x)在区间[-5，5]

5、的两端非常大。例如，L10(4.8)=1.80438，而f(4.8)=0.04160。这种现象称之为龙格现象。不管n取多大，Runge现象依然存在。因此，对函数作插值多项式时，必须小心处理，不能认为差值节点取得越多，差值余项就越小。此外，当节点增多时，舍入误差的影响不能低估。为了克服高次插值的不足，应采用分段低次插值。2　复化辛普森求积公式2.1　问题背景用复化Simpson公式计算定积分e2=12xexdx的近似值，要求误差限ξ=1/2×10-7，利用其余项对算法做出步长的事前估计；并将计算结果与精确值进行比较。20数值分析实验报告2.2　数学模型将积分区间[a,b]分为n等分，h=(b-a

6、)/n，xk=a+kh，k=0，1，…n。在每个子区间[xk，xk+1]上用Simpson公式可得：abfxdx=k=0n-1f(x)dx≈h6k=0n-1[fxk+4fxk+12+f(xk+1)]其中xk+1/2=xk+1/2h。Snf=h6k=0n-1fxk+4fxk+12+fxk+1=h6[fa+4k=0n-1fxk+12+2k=1n-1fxk+f(b)]此式即为复化Simpson公式。设f(x)∈C4[a,b]，由Simpson公式的误差有Rsn=I-Sn=k=0n-1[-190h25f4(εk)]，εk∈[xk,xk+1]。则复化Simpson公式的余项为：Rsn=-b-a2880h

7、4f4(εk)，εk∈[a，b]复化Simpson公式四阶收敛。2.3　计算方法程序1(求f(x)的n阶导数)：symsxf=x*exp(x)%定义函数f（x）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n)%求f(x)的n阶导数程序2：clcclearsymsx%定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x')%定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该