高考数学复习 第100-102课时第十三章 导数-导数的应用（3）名师精品教案 新人教a版

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1、第100-102课时：第十三章导数——导数的应用(3)课题：导数的应用3：切线与速度的问题(3课时)一．用导数求曲线的切线函数在处导数的几何意义，就是曲线在点处切线的斜率，也就是说，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。利用上述结论，可以求解曲线的切线以及相关的问题。用求导法求曲线的切线的斜率是行之有效的方法，它不仅适用于二次曲线，对于任何可导函数都适用。如果要求的切线过某点，一定要注意验证这点是否在曲线上。如果这点在曲线上，可直接通过求这点的导数（斜率）来求切线方程，如果这点在曲线之外，一般需设切点，求出这点的导数，然后通过解方程组

2、来确定切点，最后根据两点式确定切线方程。二．用导数求瞬时速度物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在时的导数，即有。利用导数的这个物理意义，可以帮助我们获得按规律运动的物体的瞬时速度。三．范例分析例1．求过抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上一点P（x0，y0）处的切线方程，并由此证实抛物线的光学性质。分析：为求斜率，先求导函数：y'=2ax+b，故切线方程为y－y0=(2ax0+b)(x－x0)即　　y=(2ax0+b)x－ax+c，亦即y=(2ax0+b)x－ax+c.　　抛物线焦点：F（,），它关于切线的对称点之横坐标当x0，说明从焦点

3、发出的光线射到（x0，y0）经抛物面反射后反射光线平行于对称轴，反之亦然。　　要求过曲线上一点处的切线方程，一般先求出该点的导数值（斜率），再用点斜式写出后化简，同时我们还可以据此写出该点处的法线方程。解：显然，y0=ax+bx0+c　　y'=2ax+b　故在P点处切线斜率为2ax0+b，　　切线方程y－(ax+bx0+c)=(2ax0+b)(x－x0)，　　亦即y=(2ax0+b)x－ax+c.　　由于y=ax2+bx+c按向量=平移即得到y=ax2，只须证明过其上一点（x0，ax）的切线l：y=2ax0x－ax满足：焦点关于l的对称点为（m

4、，n）.　　当x0≠0时，消去n.知m=x0.　　当x0=0时，切线为y=0，F之对称点横坐标显然是0，　　故从焦点发出的光线射到（x0，ax）后被抛物面反射后的方程为x=x0（与对称轴平行）；反之，与对称轴平行的光线被抛物面反射后必聚汇于焦点.例2．求函数y=x4+x－2图象上的点到直线y=x－4的距离的最小值及相应点的坐标.分析：首先由得x4+2=0知，两曲线无交点.　　y'=4x3+1，切线要与已知直线平行，须4x3+1=1，x=0.　　故切点：（0,－2）　　一般地，当直线l与y=f(x)的图像无交点时，与l平行的切线与l间距离应为图像

5、上点到l的距离的最值，以最小值为例（如图）与l平行的直线若与曲y=f(x)相交，（A为一交点），则l'与l间必存在y=f(x)上的点C，显然，C点到l的距离小于l与l'间的距离，亦即A到l的距离.　　当然，我的也可用参数直接考虑：设(x0，x+x0－2)为y=f(x)图象上任意一点，它到l的距离，故距离最小距离为　上述等号当且仅当x=0时取得，故相应点坐标为（0，2）。解：y'=4x3+1，令4x3+1=1，x=0.由此知过曲线上点（0，－2）的切线方程y=x+2与已知直线平行，它到已知直线距离最近，为.例3．已知一直线l经过原点且与曲线y＝x

6、3－3x2＋2x相切，试求直线l的方程。分析：设切点为（x0，y0），则y0＝x03－3x02＋2x0，由于直线l经过原点，故等式的两边同除以x0即得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点x0处的切线斜率，便可建立关于x0的方程。在两边同除以x0时，要注意对x0是否为0进行讨论。解：设直线l：y＝kx。∵y'＝3x2－6x＋2，∴y'

7、x=0＝2，又∵直线与曲线均过原点，于是直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2相切于原点时，k＝2。若直线与曲线切于点(x0，y0)(x0≠0)，则k＝，∵y0＝x03－3x02＋2x0，∴=x02－3x0

8、＋2，又∵k＝y'

9、＝3x02－6x0＋2，∴x02－3x0＋2＝3x02－6x0＋2，　∴2x02－3x0＝0，∵x0≠0，　∴x0＝，　∴k＝x02－3x0＋2＝－，故直线l的方程为y＝2x或y＝－x。例4．已知曲线及其上一点，过作C的切线，与C的另一公共点为（不同于），过作C的切线，与C的另一公共点为（不同于），…，得到C的一列切线，，…，，…，相应的切点分别为，，…，，…。（1）求的坐标；（2）设到的角为，求之值。解：（1）设，过作C的切线。C在处的切线的方程为：，代入，并整理得。即（舍去）或。由题意，，从而，（n∈N*）即；（2）的斜

10、率。的斜率。。例5．在直线轨迹上运行的一列火车，从刹车到停车这段时间内，测得刹车后t秒内列车前进的距离s＝27t－0.45t2（单位是米），这列火车在