高考数学一轮总复习 18.3 不等式的证明(二)教案 理 新人教a版

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1、18.3　不等式的证明(二)典例精析题型一　用放缩法、反证法证明不等式【例1】已知a，b∈R，且a＋b＝1，求证：(a＋2)2＋(b＋2)2≥.【证明】方法一：(放缩法)因为a＋b＝1，所以左边＝(a＋2)2＋(b＋2)2≥2[]2＝[(a＋b)＋4]2＝＝右边.方法二：(反证法)假设(a＋2)2＋(b＋2)2＜，则a2＋b2＋4(a＋b)＋8＜.由a＋b＝1，得b＝1－a，于是有a2＋(1－a)2＋12＜.所以(a－)2＜0，这与(a－)2≥0矛盾.故假设不成立，所以(a＋2)2＋(b＋2)2≥.【点拨】根据不等式左边是平方和及a＋b＝1这个特点，选用重要不等式a2＋b2≥2(

2、)2来证明比较好，它可以将具备a2＋b2形式的式子缩小.而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件a＋b＝1，得到关于a的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式.当然本题也可以用分析法和作差比较法来证明.【变式训练1】设a0，a1，a2，…，an－1，an满足a0＝an＝0，且有a0－2a1＋a2≥0，a1－2a2＋a3≥0，…an－2－2an－1＋an≥0，求证：a1，a2，…，an－1≤0.【证明】由题设a0－2a1＋a2≥0得a2－a1≥a1－a0.同理，an－an－1≥an－1－an－2≥…≥a2－a1≥a1－a0.假设a1，a2，…，an－1中存在

3、大于0的数，假设ar是a1，a2，…，an－1中第一个出现的正数.即a1≤0，a2≤0，…，ar－1≤0，ar＞0，则有ar－ar－1＞0，于是有an－an－1≥an－1－an－2≥…≥ar－ar－1＞0.并由此得an≥an－1≥an－2≥…≥ar＞0.这与题设an＝0矛盾.由此证得a1，a2，…，an－1≤0成立.题型二　用数学归纳法证明不等式【例2】用放缩法、数学归纳法证明：设an＝＋＋…＋，n∈N*，求证：＜an＜.【证明】方法一：(放缩法)＜＜，即n＜＜.所以1＋2＋…＋n＜an＜[1＋3＋…＋(2n＋1)].所以＜an＜·，即＜an＜.方法二：(数学归纳法)①当n＝1时

4、，a1＝，而1＜＜2，所以原不等式成立.②假设n＝k(k≥1)时，不等式成立，即＜ak＜.则当n＝k＋1时，ak＋1＝＋＋…＋＋，所以＋＜ak＋1＜＋.而＋＞＋＝＋(k＋1)＝，＋＜＋＝＝.所以＜ak＋1＜.故当n＝k＋1时，不等式也成立.综合①②知当n∈N*，都有＜an＜.【点拨】在用放缩法时，常利用基本不等式＜将某个相乘的的式子进行放缩，而在上面的方法二的数学归纳法的关键步骤也要用到这个公式.在用数学归纳法时要注意根据目标来寻找思路.【变式训练2】已知数列，，…，，…，Sn为其前n项和，计算得S1＝，S2＝，S3＝，S4＝，观察上述结果推测出计算Sn的公式且用数学归纳法加以证

5、明.【解析】猜想Sn＝(n∈N＋).证明：①当n＝1时，S1＝＝，等式成立.②假设当n＝k(k≥1)时等式成立，即Sk＝.则Sk＋1＝Sk＋＝＋＝＝.即当n＝k＋1时，等式也成立.综合①②得，对任何n∈N＋，等式都成立.题型三　用不等式证明方法解决应用问题【例3】某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材存量.(1)求an的表达式；(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年森林木材量应不少于a，如果b＝a，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取lg2＝0.30)【解析】(1)依题

6、意得a1＝a(1＋)－b＝a－b，a2＝a1－b＝(a－b)－b＝()2a－(＋1)b，a3＝a2－b＝()3a－[()2＋(＋1)]b，由此猜测an＝()na－[()n－1＋()n－2＋…＋＋1]b＝()na－4[()n－1]b(n∈N＋).下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝a－b，猜测成立.②假设n＝k(k≥2)时猜测成立，即ak＝()ka－4[()k－1]b成立.那么当n＝k＋1时，ak＋1＝ak－b＝－b＝()k＋1a－4[()k＋1－1]b，即当n＝k＋1时，猜测仍成立.由①②知，对任意n∈N＋，猜测成立.(2)当b＝a时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存

7、量必须少于a，所以()na－4[()n－1]·a＜a，整理得()n＞5，两边取对数得nlg＞lg5，所以n＞＝≈＝7.故经过8年该地区就开始水土流失.【变式训练3】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y＝(v＞0).(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解析】