高考数学一轮复习 8.6 圆锥曲线的应用教案

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1、8.6圆锥曲线的应用●知识梳理解析几何在日常生活中应用广泛，如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关键，而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用方法.本节主要通过圆锥曲线在实际问题中的应用，说明数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.●点击双基1.一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m时，则水面宽为A.mB.2mC.4.5mD.9m解析：建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为x2=－2Py（P>0），由题意知，抛物线过点（2，－2），∴4=2p×2.∴p=1.∴x2=－2y.当y0=－3时，得x02=6.∴水面宽为2

2、x0

3、=2.答案：B

4、2.某抛物线形拱桥的跨度是20m，拱高是4m，在建桥时每隔4m需用一柱支撑，其中最长的支柱是A.4mB.3.84mC.1.48mD.2.92m解析：建立适当坐标系，设抛物线方程为x2=－2py（p>0），由题意知其过定点（10，－4），代入x2=－2py，得p=.∴x2=－25y.当x0=2时，y0=，∴最长支柱长为4－

5、y0

6、=4－=3.84（m）.答案：B3.天安门广场，旗杆比华表高，在地面上，观察它们顶端的仰角都相等的各点所在的曲线是A.椭圆B.圆C.双曲线的一支D.抛物线解析：设旗杆高为m，华表高为n，m＞n.旗杆与华表的距离为2a，以旗杆与地面的交点和华表与地面的交点的连线段所在直线

7、为x轴、垂直平分线为y轴建立直角坐标系.设曲线上任一点M（x，y），由题意=，即（m2－n2）x2+（m2－n2）y2－2a（m2－n2）x+（m2－n2）a2=0.答案：B4.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是60cm，灯深40cm，则光源到反射镜顶点的距离是____________cm.解析：设抛物线方程为y2=2px（p>0），点（40，30）在抛物线y2=2px上，∴900=2p×40.∴p=.∴=.因此，光源到反射镜顶点的距离为cm.答案：5.在相距1400m的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相差3s，已知声速340m/s.炮弹爆炸点所在曲线

8、的方程为________________.解析：设M（x，y）为曲线上任一点，则

9、MA

10、－

11、MB

12、=340×3=1020<1400.∴M点轨迹为双曲线，且a==510，c==700.∴b2=c2－a2=（c+a）（c－a）=1210×190.∴M点轨迹方程为－=1.答案：－=1●典例剖析【例1】设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m万千米和m万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为和，求该彗星与地球的最近距离.剖析：本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路：由直线与椭圆的关系，列方程组解之；或利用定义法抓住椭圆的第二定义求

13、解.同时，还要注意结合椭圆的几何意义进行思考.仔细分析题意，由椭圆的几何意义可知：只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时，彗星与地球的距离才达到最小值即为a－c，这样把问题就转化为求a，c或a－c.解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点F（－c，0）处，椭圆的方程为+=1，当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为时，由椭圆的几何意义可知，彗星A只能满足∠xFA=（或∠xFA′=）.作AB⊥Ox于B，则｜FB｜=｜FA｜=m，故由椭圆的第二定义可得m=（－c），①m=（－c+m）.②两式相减得m=·m，∴a=2c.代入①，得m=（4c－c）=c，∴c=m.∴a－c=c=m.答：彗星与地球的最近

14、距离为m万千米.评述：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个端点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是a－c，另一个是a+c.（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想.另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质.思考讨论椭圆上任一点到焦点的距离的最大值和最小值是多少？怎样证明？提示：利用焦半径易求得最大值为a+c，最小值为a－c.【例2】某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P

15、处（如下图所示）.已知PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土最省工.剖析：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：（1）沿AP到P较近；（2）沿BP到P较近；（3）沿AP、BP到P同样远.显然，第三类点是第一、二类的分界点，设M是分界线上的任意一点.则有｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜.于是｜MA｜－｜MB｜=｜PB｜－｜PA｜=150－100=50.从而发现第三