高中数学 2.1《参数方程的概念-曲线的参数方程》教案(1) 新人教版选修4-4

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1、曲线的参数方程教学目标1.通过圆及弹道曲线的参数方程的建立,使学生理解参数方程的概念,初步掌握求曲线的参数方程的思路.2.通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程,培养学生探索发现能力以及解决实际问题的能力.3.从弹道曲线的方程的建立,对学生进行数学的返璞归真教育,使学生体会数学来源于实践的真谛,帮助学生树立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点.教学重点与难点曲线参数方程的探求及其有关概念是本节课的重点;难点是弹道曲线参数方程的建立.教学过程师:满足什么条件时,一个方程才能称作曲线的方程,而这条曲线才能够称作方程的

2、曲线?生:1.必须同时满足两个条件:(1)曲线上任一点的坐标都是这个方程的解;(2)同时以这个方程的第一组解作为坐标的点都在曲线上.那么,这个方程就称作曲线的方程,而这条曲线就称作这个方程的曲线.师:请写出圆心在原点,半径为r的圆O的方程,并说明求解方法.(师板书——⊙O:)师:求圆的方程事实上是探求圆上任一点M(x,y)的横、纵坐标之间的关系式.能用别的方法来探x、y之间的关系吗?生:……师:(诱导一下)不用刚才的方法给我们直接求x、y的关系带来了困难,能否考虑用间接的方法来求?即在x、y之间是否能建立一座桥梁,使之联系起来?(计算机演示动

3、画,如图3-1)师:驱使M运动的因素是什么?生:旋转角θ.师:当我们把x轴作为θ角始边,并使OM绕O点逆时针旋转,请考虑θ在什么范围内取值就可以形成整个圆了?生:师:至此x、y之间的关系已通过θ联系起来了,谁能具体地说说它们之间的关系?生3:   (c∈[0,2π],θ为变量,r为常数)(生3叙述,师板书)师:①式是⊙O的方程吗?生4:①式是⊙O的方程.师:请说明理由.生4:(生4叙述,师板书)(1)任取⊙O上一点,总存在,由三角函数定义知,显然满足方程①;(2)任取,由①得即M().所以  .所以  M在⊙O上.由(1)、(2)知①是⊙O的

4、方程.师:既然①是⊙O的方程,那么它应该和是一致的,两者能统一起来吗?生:能,消去θ即可.师:这里,我们从另一个角度重新审视了圆,通过第三个变量θ把圆上任意一点的横、纵坐标x、y联系了起来,获得了圆的方程的另一种形式.通过间接的方法把某两个变量联系起来的例子不仅几何中有,在生产实践、军事技术、工程建设中也有.特别在两个变量之间的直接关系不易建立时,常用间接的方法将它们联系起来.请同学们再看一个例子.炮兵在射击目标时,需要考虑炮弹的飞行轨迹、射程等等.现在,我们假设一个炮兵射击目标,炮弹的发射角为α,发射的初速度为ν0.请同学们帮他求出弹道曲线

5、的方程。(不计空气阻力)师:同学们是否知道炮弹飞行轨迹的形状?请同学们大概地画一下.(师从同学们画出的图形中,选出一种画在黑板上,如图3-2.)师:一般同学们都知道是轨物线的一段.现在的问题就是怎样求弹道曲线的方程(即点的轨迹方程),请思考求点的轨迹方程的首要工作是什么?生:建系.师:怎样建系?(请同学们自行建系)(师将同学们4种不同的建系方式依样画在黑板上或用投影仪直接打出。如图3-3-(1)、(2)、(3)、(4))师:怎样建系由我们自己决定,然而我们总希望建立的坐标系较合乎常理,且使问题的求解方便一些,方程简单一些.现在请同学们从上述4

6、种建系方式中选择较恰当的一种.生:(较一致地否定了(1)、(2),对(3)、(4)众说纷纭.)师:(引导学生作常规分析)炮弹飞行与时间t有关,当t=0时,炮弹还在炮口位置,它是炮弹飞行的初始位置(起始点),这个起始点放在坐标系的什么位置才较好地合乎常理呢?生:放在原点位置,即取炮口为原点,水平方向为x轴,建立直角坐标系,因此选图3-3(4).师:坐标系建立起来了,接着该做什么了呢?生:设标,设炮弹发射后的位置为M(x,y).师:下面该进行哪一步了?生:列式.师:怎么列?x与y之间的直接关系明显吗?生:不明显.师:那么怎样把x、y之间的关系联系

7、起来呢?生5:像刚才用第三变量θ表示圆上任一点的坐标x、y之间的关系一样,通过间接的办法把x、y联系起来.师:很好!那么这里的第三变量是什么呢?它又能怎样把x、y联系起来呢?生5:刚才圆上点M是依赖于角θ的运动而运动的,第三变量就选择了θ,我想这里要把x、y之间的关系建立起来,也要分析一下炮弹的运动方式,看看炮弹的位置是依赖于哪个量的变化而变化的.师:非常好!让我们一起来分析炮弹的运动方式.这里,炮弹的运动实际上是物理学中的斜抛运动.炮弹在水平方向作匀速直线运动,在竖直方向上作竖直上抛运动(由于受重力作用,炮弹作初速度不为零的匀速直线运动).

8、显然在x、y分别是炮弹飞行过程中的水平位移和竖直位移(竖直高度),因此“怎样列式”事实上是解决如何刻画水平位移和竖直位移的问题.故应考虑运动物体的位移与哪些量有关.

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