高中数学 1．3.2 奇偶性教案精讲 新人教a版必修1

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1、1．3.2　奇偶性[读教材·填要点]1．函数的奇偶性奇偶性条件偶函数对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)奇函数对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)2.奇、偶函数的图象(1)偶函数的图象关于y轴对称．(2)奇函数的图象关于坐标原点对称．[小问题·大思维]1．对于某个函数f(x)，若存在x0使得f(－x0)＝f(x0)，(f(－x0)＝－f(x0))，这个函数是偶函数(奇函数)吗？提示：不是．函数的奇偶性是函数整个定义域上的性质，必须是对任意的x都成立才能说明该函数具有奇偶性．2

2、．若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)为何值？提示：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(－0)＝－f(0)，即2f(0)＝0.∴f(0)＝0.3．函数f(x)＝x3，x∈[－1,1)是奇函数吗？当x∈[－1,1]时呢？提示：函数f(x)＝x3，x∈[－1,1)是非奇非偶函数，而当x∈[－1,1]时为奇函数．判断函数的奇偶性[例1]　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2(x2＋2)；(2)f(x)＝x

3、x

4、；(3)f(x)＝

5、x＋1

6、－

7、x－1

8、；(4)f(x)＝＋；(5)f(x)＝.[自主解答]　(

9、1)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝－x

10、－x

11、＝－x

12、x

13、＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)∵x∈R，∴－x∈R，又∵f(－x)＝

14、－x＋1

15、－

16、－x－1

17、＝

18、x－1

19、－

20、x＋1

21、＝－(

22、x＋1

23、－

24、x－1

25、)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(4)∵定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数．(5)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]．即有－1≤x≤1且x≠0,则－1

26、≤－x≤1，且－x≠0，又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．(1)定义法判断函数奇偶性的步骤是先求函数的定义域，若定义域不关于原点对称则说明函数既不是奇函数也不是偶函数；若定义域关于原点对称，则再求f(－x)，并判断f(－x)＝±f(x)是否成立来确定奇偶性．有时还可以用其等价式f(－x)±f(x)＝0或＝±1(f(x)≠0)来判断．————————————————————————————————————————(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝(x－1).解：(1)由得2≤x2≤2，∴x＝±，即函数定义域为

27、{－，}，关于原点对称．又f(－)＝0＝f()，且f(－)＝－f()＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)由1＋x≥0得x≥－1，定义域不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数.判断分段函数奇偶性[例2]　已知函数f(x)＝判断f(x)的奇偶性．[自主解答]　(1)当x<0时，－x>0.f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3＝－f(x)．(2)当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)，综上可知f(x)为奇函数．(1)对于分段函数奇偶

28、性的判断，须特别注意x与－x所满足的对应关系，如x>0时，f(x)满足f(x)＝－x2＋2x－3，－x<0满足的是f(x)＝x2＋2x＋3；(2)要对定义域内的自变量都要考察，如本例分为两种情况，如果本例只有(1)就说f(－x)＝－f(x)，从而判断它是奇函数是错误的、不完整的；————————————————————————————————————————2．判断函数f(x)＝的奇偶性．解：法一(用定义判断)：这个函数的定义域为R.当x≥0时，－x≤0，f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；

29、当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)．∴f(－x)＝＝－f(x)．∴f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．法二：(用图象判断)作出函数的图象，如图所示．由图可知，函数图象关于原点对称，故函数f(x)是奇函数．函数奇偶性的应用[例3]　设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．[自主解答]　由f(m)＋f(m－1)>0，得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)

30、0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数．∴f(x)在[－2,2]上为减函数．∴即解得－1≤m<.∴实数m的取值范围[－1，)．解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再根据奇函