高中数学 1.2旋转变换中图形的变化教案 湘教版选修4－2

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1、§1.2旋转变换中图形的变化教学目标:一、知识与技能：理解旋转变换的几何意义，能求在其变换作用下图形的变化；认识逆矩阵，能求某些函数方程变换后的曲线议程。二、方法与过程通过例题解析，培养学生的应用意识，逆向思维能力，渗透数形结合的思想、化归思想。；同题异解，培养学生的求异思维；通过解题后的反思，培养学生的概括迁移能力。三、情感、态度与价值观发展学生的交流意识，提高学生的思维品质，体会数学和美学意义和内在联系。教学重点:求在旋转变换作用下图形的变化教学难点：不同解法的运用用其内在联系教学过程一、复习引入：1、如果

2、变换T：（）（）变换前后坐标之间的关系具有如下的形式：也就是都是的常数项为0的一次函数，就将这样的变换T称作线性变换。此时可以将变换表达式写成＝　　　　　　2、平面上绕原点旋转可以看成一个变换，称为旋转变换，它建立了平面上的第一个点到的对应关系＝3、几个常用的特殊的旋转变换（1）恒等变换将平面上所有的点都保持不动，其变换矩阵为（2）中心对称变换将平面上所有的点变到关于原点的中心对称点，其变换矩阵为（3）绕原点旋转的变换矩阵为二、讲解新课：1、旋转变换的应用例1在平面直角坐标系上，设变换T将每个点绕原点O沿逆时针

3、旋转，点A的坐标为（1，1），以下图形变成什么图形？（1）点A；（2）线段OA；（3）直线；（4）直线：；（5）反比例函数C：的图象解：T的变换矩阵是=点P（）与它在变换T作用下的像P`（）的坐标之间的关系为①显然原点O（0，0）仍旋转到O（0，0）（1）设点A（1，1）变到点A`（），则由①得因此，点A（1，1）变到A`（0，），（2）线段OA变到线段OA`，A`坐标为（0，）（3）直线OA：变到直线OA`，OA`即是轴，即直线；（4）方法1直线分别与坐标轴交于B（1，0），C（0，1）将B，C的坐标代入①，

4、计算可得它们分别被变到B`（，），C`（，），T是旋转变换，因而将直线BC：变到直线B`C`，而直线B`C`的方程为=方法2旋转变换将直线变到另一条直线`。设法求出由表示的表达式，可以在关系式①中将当作已知数，解二元一次方程组求出未知数。分别将①的两式相加、相减（后一式减前一式），再除以，得②代入直线的方程得到变换后直线`的方程`=，将直线上的点（）重新写成（），则直线`的方程为=（5）反比例函数图象的方程可写为。将（4）得到的表达式②代入方程得到即将图象上的点坐标（）重新写成（），则旋转后得到的曲线的方程为这

5、是焦点在轴上的双曲线的标准方程。2、逆变换平面上绕原点旋转角的变换T与绕原点旋转角的变换M的效果正好相互抵消。若T：PT（P），则M：T（P）P。若M：QM（Q），则T：M（Q）Q因此我们称M为T的逆变换，记作M=T，同样，T也是M的逆变换，T=M因此（T）=T，（M）=M例2方程的图象是什么曲线？解设曲线上任一点P（）绕原点旋转角到P`（），，则P`（）绕原点旋转角回到P（）代入（）满足的方程得整理得①只要能选使=0，即可消去方程①的项，将方程化为椭圆的标准方程。为此，只要选，使即可，代入①得这是椭圆的标准方

6、程长半轴和短半轴分别是和一般地，形如的方程都可以通过例2的方法化成形如的方程，当，都不为0且至少有一个大于0时，它是椭圆或双曲线的标准方程。三、巩固练习、1、设A=，正方形EFGH各点坐标如下E（1，1），F（2，1），G（2，2），H（1，2），求它在矩阵A对应的旋转变换Y下的像。2、直线绕原点旋转（按逆时针）后，得到的直线方程是什么？3、方程的图象是什么曲线？四、小结1、求点P（）变换后的点P`（）的坐标，只要代入变换表达式计算就行了。2、预先知道旋转变换将线段变成线段，直线变成直线。因此，求出线段AB的两

7、个端点变换后的点A`，B`的坐标，就确定了变换后的线段A`B`。求出直线上两点A，B变换后的点A`，B`的坐标，再求经过A`，B`的方程，就知道了直线变成的直线`的方程。3、已知曲线C的方程，要求曲线经过变换的像C`的方程。可以通过解方程求出由变换后的坐标（）计算变换前的坐标（）的表达式，再将表达式代入原来曲线方程就可得到变换后的曲线方程。4、由变换后的点（）计算变换前的点（）的表达式不一定用解方程，还可通过使用逆变换计算出（）的表达式5、平面上绕原点旋转角的变换T与绕原点旋转角的变换M的效果正好相互抵消。若T

8、：PT（P），则M：T（P）P。若M：QM（Q），则T：M（Q）Q因此我们称M为T的逆变换，记作M=T，同样，T也是M的逆变换，T=M因此（T）=T，（M）=M五、课后作业：第12页习题1，2，3，4，教学反思：