高三数学二轮复习 专题三 第3讲 推理与证明教案

《高三数学二轮复习 专题三 第3讲 推理与证明教案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第3讲　推理与证明自主学习导引真题感悟1．(2012·江西)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝A．28　　　　B．76　　　　C．123　　　　D．199解析　观察规律，归纳推理．从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.答案　C2．(2012·福建)某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案．方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市

2、间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图(1)，则最优设计方案如图(2)，此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图(3)，则铺设道路的最小总费用为________．解析　根据题目中图(3)给出的信息及题意，要求的是铺设道路的最小总费用，且从任一城市都能到达其余各城市，可将图(3)调整为如图所示的结构(线段下方的数字为两城市之间铺设道路的费用)．此时铺设道路的总费用为2＋3＋1＋2＋3＋5＝16.答案　16考题分析具备一定的推

3、理与证明能力是高考的一项基本要求．归纳推理是高考考查的热点，这类题目具有很好的区分度，考查形式一般为选择题或填空题．网络构建高频考点突破考点一：合情推理【例1】(1)(2012·武昌模拟)设fk(x)＝sin2kx＋cos2kx(x∈R)，利用三角变换，估计fk(x)在k＝1,2,3时的取值情况，对k∈N＋时推测fk(x)的取值范围是________(结果用k表示)．(2)在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为S△ABC＝(a＋b＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积

4、分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为________．”[审题导引]　(1)由f1(x)、f2(x)、f3(x)的取值范围观察规律可得；(2)注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论．[规范解答]　(1)当k＝1，f1(x)＝sin2x＋cos2x＝1.当k＝2时，f2(x)＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－sin22x.∵0≤sin22x≤1，∴f2(x)∈.当k＝3时，f3(x)＝sin6x＋cos6x＝(sin2x＋cos2x)(s

5、in4x－sin2xcos2x＋cos4x)＝1－3sin2xcos2x＝1－sin22x.∵0≤sin22x≤1，∴f3(x)∈，故可推测≤fk(x)≤1.(2)三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中类比为三维图形中的，得V四面体ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)r.故填V四面体ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)r.[答案]　(1)≤fk(x)≤1　(2)V四面体ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)r【规律总结】归纳推理与类比推理之区别(1)归纳推理是由部分到整体，由

6、个别到一般的推理．在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质．在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质．【变式训练】1．若数列{an}(n∈N＋)是等差数列，则有通项为bn＝(n∈N＋)的数列{bn}也为等差数列，类比上述性质，若数列{cn}是等比数列，且cn＞0，则有通项为dn＝________(n∈N＋)的数列{dn}也是等比数列．解析　∵

7、{cn}是等比数列，且cn＞0，∴{lgcn}是等差数列，令dn＝，则lgdn＝，由题意知{lgdn}为等差数列，∴dn＝为等比数列．答案　2．平面内有n条直线，其中任何两条都不平行，任何三条不过同一点，试归纳它们的交点个数．解析　n＝2时，交点个数：f(2)＝1.n＝3时，交点个数：f(3)＝3.n＝4时，交点个数：f(4)＝6.n＝5时，交点个数：f(5)＝10.猜想归纳：f(n)＝n(n－1)(n≥2)．考点二：演绎推理【例2】求证：a，b，c为正实数的充要条件是a＋b＋c＞0，且ab＋bc＋ca＞0和abc＞0.[审题导引]　由a、b、

8、c为正实数，显然易得a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，即“必要性”的证明用直接法易于完成．证明“充分性”时，要综合三个不等式推出a、b