高考数学应用问题的类型与方法 学法指导 不分版本

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1、高考数学应用问题的类型与方法王德昌《高考数学考试大纲》明确提出“坚持数学应用，考查应用意识”。在这一命题原则的指导下，各地高考试题中的应用问题均保持在一定的比例，且呈现出一定的规律性。本文以2006年各地高考数学试题中的应用性问题为例，谈谈高考应用问题五种基本类型及其解法，供参考。一.概率统计型例1.（全国卷18）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为

2、甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为。（1）求一个试验组为甲类组的概率；（2）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。解：（1）设表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只”，i=0，1，2，表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只”，，依题意有：=，。，所求概率为：。（2）的可能值为0，1，2，3且~B，。的分布列表1中。表10123P数学期望：。注：随着新课程改革的深入，概率统计型问题已取代传统的以函数、数列等为知识背景的应用性问题成为高考应用性问

3、题的主角，对此，应予高度重视。例2.（湖北省19题）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N（70，100）。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。（1）试问此次参赛学生总数约为多少人？（2）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可供查阅的（部分）标准正态分布表表201234567891.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.9778

4、0.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.9

5、0150.91770.93190.97670.98170.9857解：（1）设参赛学生的分数为，因为~N（70，100），由条件知，这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，因此，参赛总人数约为（人）。（2）假定设奖的分数线为x分，则，即，查表得，解得。故设奖得分数线约为83.1分。注：在解答题中考查正态分布，出人意料，又在情理之中。二.函数与导数型例3.（福建19）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：。已知甲、

6、乙两地相距100千米。（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：（1）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）。答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。（2）当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h（x）升，依题意。，令，得x=80。当时，，h（x）是减函数；当时，是增函数。所以当x=80时，h（x）取到最小值h（80）=11.25。因为h（x）在（0

7、，120）上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。注：用导数方法研究函数问题为函数型应用问题注入了新的活力。三.排列组合型例4.（天津市5题）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）A.10种B.20种C.36种D52种解：不同的放球方法共有种。例5.（陕西省16）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只

8、能同去或同不去，则不同的选派方案共有_______种。不同的选派方案共有种。注：运用计数原理解决实际问题中的计数问题是高考中长盛不衰的题型。四.线性规划型例6.（四川省8题）某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为、千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为、千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为、元。月初一次性购进本月用原料A、B各、千克。要计划本月