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1、高二数学两个平面平行的判定和性质知识精讲人教版【基础知识精讲】1.两个平面的位置关系(1)两平面平行——没有公共点，若α与β平行，记作α∥β.(2)两平面相交——有一条公共直线，若α与β有交线a，记作α∩β＝a.注意：画两个互相平行的平面时，表示平面的两个平行四边形的对应边应画平行，如图：画两个相交平面时：(i)先画表示两个平面的平行四边形的相交的两边.(ii)再画出表示两个平面交线的线段；(iii)过第(i)步图中线段的端点分别引线段，使它平行且等于第(ii)步图中表示交线的线段.(iv)最后画表示两个平面的
2、平行四边形的第四边，其演示过程如下：2.两个平面平行的判定(1)两个面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.aβ,bβ,a∩b＝A,a∥α,b∥αα∥β.在实际生活中要判断一个平面是否水平时，把水准器在该平面上交叉放两次如果汽泡居中，就可利用该定理判定该平面与水平面平行.(2)书中粗体字：垂直于同一直线的两个平面平行.也可以用来作面面平行的判定.即α⊥AA′，β⊥AA′α∥β.3.两个平面平行的性质(i)两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.这为线面
3、平行进一步提供了证明方法，但分居两平行平面的直线有平行与异面两种可能.(ii)两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.α∥β，γ∩α＝a,γ∩β＝ba∥b.(iii)一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，它也垂直于另一个平面.(iv)经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行.4.两个平行平面的距离首先我们可以验证夹在两个平行平面间的平行线段相等.(1)两个平行平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线.这与两异面直线公垂线不同的是两平行平面的公垂线有无数条.根据线面垂直
4、的性质定理可知这些公垂线相互平行.(2)两个平行平面的公垂线段：两个平行平面的公垂线夹在两平行平面间的部分.由上可知，两个平行平面的公垂线段都相等，我们把夹在两个平行平面间的公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.【重点难点解析】两个平面平行的判定和性质是本节的重点，平行平面间的距离是本节的重点概念，判定定理的证明是本节的难点，要深刻理解面面平行的概念和一些重要定理，在验证中应注意线线平行，线面平行，面面平行之间的相互转化.例1已知a、b是异面直线，aα,a∥β,bβ,b∥α,求证α∥β.分析证明两个平面平行通
5、常利用判定定理来证.证明如图，过a作任一平面γ和平面β交于a′,∵a∥β∴a∥a′.又a′β,a′α∴a′∥α且a′与b相交，∵bβ，b∥α.∴α∥β.另证设c是异面直线a、b的公垂线，则过a、c可以确定一个平面γ，设γ∩β＝a′∵α∥β，∴a′∥a,∵c⊥a,∴c⊥a′又∵c⊥b,a′,b相交，∴c⊥β同理可证：c⊥α，∴α∥β例2已知：平面α∥平面β，且aα，b平面β，a,b为两条异面直线.求证：异面直线a、b间的距离等于平面α，β之间的距离.证：设AB是异面直线a、b的公垂线段，如图过点B，作直线a′，使
6、a′∥a.∵α∥β，aβ,∴a∥β,∴a′β.∵AB⊥a,∴AB⊥a′又AB⊥b，且a′∩b＝B.∴AB⊥β∵α∥β，∴AB⊥α∴AB的长是平行平面α，β间的距离.说明求两异面直线间的距离有时可能转化为求两平行平面间的距离.例3如果一条直线和两个平面中的一个相交，那么它和另一个平面也相交.已知：α∥β,l∩α＝A.求证：l与β相交.证明：∵α∥β,l∩α＝A∴Aβ.假设l与β不相交，则l∥β在平面β内任取一点D，则Dl.∴点D，l确定平面PBD，如图∵α与平面PBD相交于过A的一条直线AC，β与平面PBD相交于
7、过点D的一条直线BD.又α∥β∴AC与BD无公共点.∵AC和BD都在平面PBD内，∴AC∥BD.由l∥β可知l∥BD.∴AC∥l且l与AC相交于A.∴AC与l重合，又AC在平面α内.∴l在α内与l∩α＝A矛盾.∴假设不成立，∴l与β必相交.例4如图，正四棱锥S—ABCD的底面积长为a，侧棱长为2a，点P、Q分别在BD和SC上，并且BP∶PD＝1∶2，PQ∥平面SAD，求线段PQ的长.分析要求出PQ的长，一般设法构造三角形，使PQ为其一边，然后通过解三角形的办法去处理.作PM∥AD交CD于M连QM，∵PM∥平面S
8、AD，PQ∥平面SAD.∴平面PQM∥平面SAD，而平面SCD分别与此两平行平面相交于QM，SD.∴QM∥SD.∵BC＝a,SD＝2a.∴＝.∴＝＝,MP＝a,＝＝＝.∴MQ＝SD＝a,又∠PMQ＝∠ADS.∴cos∠PMQ＝cos∠ADS＝＝.在ΔPMQ中由余弦定理得PQ2＝(a)2+(a)2-2·a·a·＝a2.∴PQ＝a.评析：本题的关键是运用面面平行的判定和性质，结合平行线截比
