用均值不等式求最值的常用技巧 学法指导

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1、用均值不等式求最值的常用技巧杨清泉均值不等式是解决最值问题的有效工具。运用均值不等式求最值要同时满足条件：一正、二定、三相等，缺一不可。多数求最值的问题具有隐蔽性，需要进行适当地变形才能用均值不等式求解。掌握一些常见的变形技巧，可以更好地使用均值不等式求最值。1.凑系数例1当时，求的最大值。利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，本题是积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故需将“x”项凑上一个系数即可。解：由，知，当且仅当时取等号。其最大值是8。点评：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。2.凑项例2求的最值。分析：由题

2、意知，首先要调整符号，而不是定值，需对进行凑项才能得到定值，然后用均值不等式。解：∵，∴，即。，当且仅当，即时等号成立。∴函数有最大值。3.分离例3经过长期观测可知，在交通繁忙的时段内，某路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系式为。在该时段内，当汽车的平均速率为多大时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）分析：只要把分子上的变量分离出来，转化到分母上就可以用均值不等式求解。解：依题意得：。当且仅当，即时，上式等号成立。∴当时，（千辆/小时）。4.平方例4求函数的最大值。分析：注意到与的和为定值，只要对解析式两边取平方，即可用均

3、值不等式求解。解：。当且仅当，即时取等号。又，可知，故。5.统一例5已知正数，满足，求的最大值。分析：把所求式的变量x都移到根号里，同时凑系数满足已知条件使和为常数，用均值不等式求积的最大值。解：∵，∴。∴。当且仅当且时等号成立，又因，为正值，可解得，时等号成立。故有最大值为。6.代换例6已知正数、满足，求的最小值。分析：将看作，1用已知条件整体代换，可用均值不等式求解。解：。由题意知，当且仅当且时等号成立，又因、为正数，解得，，故最小值是18。7.构造例7已知，求的最小值。分析：注意到所求式子的分母满足，将其整体代入所求式子，即可用均值不等式求解。解：∵，∴。∵，∴当且仅当，即

4、时等号成立。故的最小值为25。