一类函数在闭区间上的最值问题 专题辅导 不分版本

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1、一类函数在闭区间上的最值问题http://www.DearEDU.com魏立国某些函数在闭区间上的最值，经过等价转化，均可化为闭区间上二次函数的最值。求解的关键是按对称轴与区间的位置进行分类。本文对常见的“对称轴变化但区间确定”及“对称轴确定但区间变化”两种类型例说如下：1.“轴变区间定”型例1.若的最大值为求表达式。分析：视为整体，可将转化为关于的二次函数，然后利用余弦函数值域确定。解：是关于的二次函数，它的对称轴为：注意到所以当；当所以例2.已知当时，对任意实数恒小于零，求实数m的取值范围。分析：设，则原题等价于当时，最大值恒小于零。解：设，对称轴。（1）当时，所以，于是（2）当所以于是

2、（3）当于是综上所述，当时，在上恒小于零。例3.已知时，不等式恒成立，求θ的取值范围。分析：将原不等式整理成关于x的一元二次不等式，得：设当时，不等式恒成立的必要条件是，且，即，且，由此可将取值范围缩小到第一象限，并且可以确定图象是开口向上的抛物线，在此基础上，再寻求恒成立，即最小值恒大于0的θ的取值范围。解：原不等式化为：设要使时，恒成立，必须使且即且，则θ是第一象限角，此时抛物线的开口向上，其对称轴方程为：因为所以所以上最小值为顶点纵坐标，即当时，恒成立充要条件是最小值取正值。综上所述，得所以说明：先计算二次函数两个特殊值，，这一招非常高明，不仅缩小θ的取值范围，而且确定了抛物线对称轴的

3、位置（即顶点横向位置），从而避免了求最值的分类讨论，使解题过程大大简化。2.“轴定区间变”型例4.已知函数，若时，求函数的最值。分析：由于对称轴是确定的，所以只要根据对称轴与区间的三种位置关系进行讨论，就容易求出最值。解：函数图象的对称轴为（1）当，即时（2）当，即（3）当即（4）当，即时，设函数最大值记为，最小值记为，则有例5.对时，恒为正，求实数a的取值范围。分析：设，要在时恒为正，则最小值必须为正。解：设（1）当时则且（2）当，即时，则又于是（3）当，即时于是所以当时，在时恒为正。