高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练） 8.3 解三角形的应用举例第1课时 湘教版必修4

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1、8.3　解三角形的应用举例第1课时　距离与高度问题学习目标重点难点1．知道仰角、俯角等概念；2．会用正余弦定理解决距离计算问题；3．会用正余弦定理解决高度计算问题.重点：距离与高度问题的求解；难点：正余弦定理的选择与运用.1．仰角与俯角如下图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作________，视线在水平线下方的角叫作________．预习交流1假若由较低的A点望较高的B点时，仰角为α，而由B点望A点时，俯角为β，那么α与β有何关系？2．测量距离问题预习交流2如何测量地面上两个不能到达的地方之间的距离？例如：A，B两地在河的一边，怎样测出A，B间距

2、离？3．测量高度问题预习交流3怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度？例如：要测量某铁塔PO的高度，但不能到达铁塔的底部，在只能使用简单的测量工具的前提下，你能设计出哪些测量方法？并提供计算方法．在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：1．仰角　俯角预习交流1：提示：必有α＝β.预习交流2：提示：方法步骤如下：(1)先在河对岸上选C地，D地，并量出DC的长度；(2)在△ACD中，测出∠ADC，∠ACD，可得∠DAC，由正弦定理得＝，即AC＝；(3)在△BCD中，测出∠BDC，∠BCD，可得∠DBC，由正弦定理得＝，即BC＝；(

3、4)在△ABC中，测出∠ACB，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，可求得AB的长．预习交流3：提示：在地面上引一条基线AB，这条基线和塔底在同一水平面上，且延长后不过塔底，测出AB的长，用经纬仪测出角β，γ和A对塔顶P的仰角α的大小，则可求出铁塔PO的高．计算方法如下：如图所示，在△ABO中，由正弦定理得=.在Rt△POA中，PO＝AO·tanα，∴PO＝.一、测量距离问题某市电力部门在抗雪救灾的某项重建工程中，需要在A，B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A，B两地距离．如图，现测量人员在相距km的C，D两地(假设A，B，C，D在同一

4、平面上)，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是A，B距离的倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？思路分析：先在△ACD中，利用正弦定理求出AC的长度，再在△BCD中，利用正弦定理求出BC的长度，最后可在△ABC中，利用余弦定理求出AB的长度，从而根据题意可求出需要准备电线的长度．如图，某河岸的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB=75°，∠CBA=45°，且AB=100米．(1)求sin75°；(2)求该河段的宽度．

5、测量距离问题通常分为三种类型：两点间不可视、两点间可视但不可达、两点都不可达．解决距离问题的方法是选择合适的辅助测量点、构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正弦定理、余弦定理等进行求解．二、测量高度问题如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m，速度为180km/h，飞机先看到山顶的俯角为15°，经过420s后又看到山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度(取≈1.4，≈1.7)．思路分析：要求山顶的海拔高度，只需求出CD的高度即可，要求CD，可在直角△BCD中求解，只需求出BC的长度，而BC的长度可在△ABC中利用正弦定理求

6、得．如图，地平面上有一旗杆OP，为了测量它的高度h，在地面上选一基线AB，AB=20m，在A点测得P点的仰角∠OAP=30°，在B点测得P点的仰角∠OBP=45°，又测得∠AOB=60°，求旗杆的高度h(结果精确到1m)．测量高度的问题中经常会涉及仰角、俯角以及方位角等，因而所画图形可能为立体图形，因此要注意空间想象能力的运用．在解题过程中，要注意寻找其中的直角三角形．根据直角三角形中的特殊关系解决问题，避免复杂的运算．1．海上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　)．A．10海里B．海里C．5海里

7、D．5海里2．如图，已知D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点仰角分别是β，α(α＜β)，则A点离地面的高度AB等于(　　)．A．B．C．D．3．一架飞机从A地飞到B地，两地相距700km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与原来的飞行方向成21°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成35°夹角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来路程700km远了多少？4．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β