高中数学 第七章 直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式教学案 苏教版

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1、直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内,已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点,会求直线的方程;给出直线的点斜式方程,能观察直线的斜率和直线经过的定点;能化直线方程成截距式,并利用直线的截距式作直线.(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡,训练学生由一般到特殊的处理问题方法;通过直线的方程特征观察直线的位置特征,培养学生的数形结合能力.(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识.二、教材

2、分析1.重点:由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况,截距式方程是两点式方程的特殊情况,教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上.2.难点:在推导出直线的点斜式方程后,说明得到的就是直线的方程,即直线上每个点的坐标都是方程的解;反过来,以这个方程的解为坐标的点在直线上.的坐标不满足这个方程,但化为y-y1=k(x-x1)后,点P1的坐标满足方程.三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合.四、教学过程(一)点斜式已知直线l的斜率是k,并且经过点P1(x1,y1),直线是确定的,也就是可求的,怎

3、样求直线l的方程(图1-24)?设点P(x,y)是直线l上不同于P1的任意一点,根据经过两点的斜率公式得注意方程(1)与方程(2)的差异:点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2),因此,点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上,方程(1)不能称作直线l的方程.重复上面的过程,可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解;对上面的过程逆推,可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上,所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程.这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的,叫

4、做直线方程的点斜式.当直线的斜率为0°时(图1-25),k=0,直线的方程是y=y1.当直线的斜率为90°时(图1-26),直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.(二)斜截式已知直线l在y轴上的截距为b,斜率为b,求直线的方程.这个问题,相当于给出了直线上一点(0,b)及直线的斜率k,求直线的方程,是点斜式方程的特殊情况,代入点斜式方程可得:y-b=k(x-0)也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程.为什么叫斜截式方程?因为它是由直线

5、的斜率和它在y轴上的截距确定的.当k≠0时,斜截式方程就是直线的表示形式,这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距.(三)两点式已知直线l上的两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),(x1≠x2),直线的位置是确定的,也就是直线的方程是可求的,请同学们求直线l的方程.当y1≠y2时,为了便于记忆,我们把方程改写成请同学们给这个方程命名:这个方程是由直线上两点确定的,叫做直线的两点式.对两点式方程要注意下面两点:(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线,当直线与坐标轴

6、平行(x1=x2或y1=y2)时,可直接写出方程;(2)要记住两点式方程,只要记住左边就行了,右边可由左边见y就用x代换得到,足码的规律完全一样.(四)截距式例1 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0,b≠0),求直线l的方程.此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题,由学生自己完成.解:因为直线l过A(a,0)和B(0,b)两点,将这两点的坐标代入两点式,得就是学生也可能用先求斜率,然后用点斜式方程求得截距式.引导学生给方程命名:这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的,叫做直

7、线方程的截距式.对截距式方程要注意下面三点:(1)如果已知直线在两轴上的截距,可以直接代入截距式求直线的方程;(2)将直线的方程化为截距式后,可以观察出直线在x轴和y轴上的截距,这一点常被用来作图;(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示.(五)例题例2 三角形的顶点是A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2)(图1-27),求这个三角形三边所在直线的方程.本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫.解:直线AB的方程可由两点式得:即 3x+8y+15=0这就是直线AB的方

8、程.BC的方程本来也可以用两点式得到,为简化计算,我们选用下面途径:由斜截式得:即 5x+3y-6=0.这就是直线BC的方程.由截距式方程得AC的方程是即 2x+5y+10=0.这就是直线AC的方程.(六)课后小结(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的,要会加以区别.(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用.(3)要注意四种形式方程的不适用范围.五、布置作业1.(1.5练习第1题)写出下列直线的点斜式方程,并画出图形:(1)经过点A(2,5),斜率是4;(4)

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