高考专业精品文档 (1806).doc

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1、空间向量与立体几何第14讲立体几何13级高考必考大题——空间向量与立体几何满分晋级立体几何12级空间向量与立体几何立体几何11级直线、平面与简单几何体知识结构图知识网络重要知识点1．共面向量定理：如果两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是__________．空间向量分解定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个惟一的有序实数组，，，使．2．空间向量的平行和垂直的条件：设，，∥（）____________；_______________．___________，___________．3．若向量和是两个不共线的向量，且都平行于平面（即向量的基线与平面平行或在平面内

2、），直线的一个方向向量为，则或在内_____________．4．如果向量的基线与平面垂直，则向量就称为平面的_______．设，分别是平面的法向量，则或与重合______；_________．5．设为平面的法向量，斜线的方向向量为，则向量所成的角与线面角的关系可能为______________．6．在二面角的棱上任取一点，在两个半平面内分别作射线，，则叫做二面角的平面角．二面角的平面角的大小就称为二面角的大小．我们约定二面角的范围为_______．设，，则角与二面角_________．<教师备案>空间向量的基本概念、性质和计算可以对比平面向量学习和掌握，空间向量基本定理是重点内容．利用空

3、间向量解决立体几何的基本原理是利用方向向量表示直线、利用法向量表示平面、以向量夹角代替空间角、以向量投影代替空间距离，而计算向量夹角和向量投影的方法均为向量内积．但是由于向量夹角和空间角的取值范围不同，平面法向量的选取又不唯一，每次用向量计算夹角后需要仔细分析所得角是所求角还是所求角的余角或补角．直线的向量方程用于求解立体几何中的动态问题，在以后的讲义中才会涉及；平面的向量表达式用于构造方程组，计算平面法向量，需要注意解题格式．老师可依据学生水平适当介绍向量外积，用于快速计算法向量．考点剖析考点1：空间向量的概念、性质和计算（加、减、数乘和内积）考点2：空间向量与直线、平面的关系考点3：利

4、用空间向量证明空间中的平行、垂直关系；考点4：利用空间向量计算空间中的距离（点面距离）和角度（异面直线所成角、线面角和二面角）．经典精讲<教师备案>例1为空间向量基本概念、性质和计算．空间向量的概念是平面向量的延伸，在平面向量和立体几何的基础上理解空间向量并无困难，因此在近年高考中很少出现关于空间向量概念的问题，若出现则必以选填题的形式，且侧重点必为空间向量基本定理．例2为向量法与传统方法的比较，为了强调尽管向量法以计算代替思考，可以有效降低立体几何题目的难度，但也并不是任何情况下都是向量法优于传统方法．例3为不建立空间坐标系的立体几何计算，为了强调向量法并不一定依赖于坐标系，根本原理还是

5、空间向量基本定理和内积运算，空间坐标系是空间向量基本定理的一种特殊形式．当然，绝大部分空间向量与立体几何的问题还是利用空间坐标系求解的．例4、例5、例6为利用空间向量判定空间中的平行、垂直关系或计算距离、角度，是典型的解答题命题形式．由于向量概念中，平行和重合是不作区分的，因此空间向量不适合用来判定空间中的平行关系（还需要声明不重合），若题目中涉及平行关系的证明，推荐使用传统方法．例4为空间角度的计算；例5为空间距离的计算；例6为综合题，需要空间向量与立体几何知识的全面应用．作为第一轮复习，不应只使用空间向量的方法解题，应使用传统方法和向量方法分别求解，既可以训练空间想象能力，也可以训练计

6、算能力，第二轮复习时才应有所侧重．另外，要强调解题的程序和格式，避免不必要的失分．空间向量基本概念与计算【例1】⑴有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底．其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③⑵命题：①若与共线，与共线，则与共线；②向量、、共面，则它们所在直线也共面；③若与共线，则存在唯一的实数，使；④若、、三点不共线，是平面外一点，，则点一定在平面上，且在内部．上述命题中的真命题是．【拓3】如图：在平行六面体中，为与的交点

7、．若，，，⑴下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．⑵若，且，求与．【铺1】（2009北京理4文7）若正四棱柱的底面边长为，与底面成角，则到底面的距离为（）A．B．C．D．向量法与传统方法的合理选择【例1】⑴（2009全国Ⅱ5）已知正四棱柱中，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）A．B．C．D．⑵（2008全国Ⅱ10）已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（　　）A．B．C．D