一轮复习配套讲义：第篇 第3讲 几何概型

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1、第3讲　几何概型[最新考纲]1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义.知识梳理几何概型(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．(3)公式：P(A)＝.辨析感悟1．对几何概型的理解(1)(教材习题改编)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会

2、相等．(√)(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(√)(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(×)2．几何概型的计算(4)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝.(×)(5)(2013·福建卷改编)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＜0”发生的概率为.(√)[感悟·提升]1．一个区别　“几何概型”与“古典概型”的区别：基本事件的个数前者是无限的，后者是有限的．2．一点提醒　几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长

3、度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，如(3).学生用书第186页考点一　与长度、角度有关的几何概型【例1】(1)(2013·湖北卷)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足

4、x

5、≤m的概率为，则m＝________.(2)如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM<1的概率为________．解析　(1)由题意知m＞0，当m≤2时，满足

6、x

7、≤m的概率为＝＝，解得m＝(舍去)．当2＜m≤4时，所求概率为＝，∴m＝3.(2)∵∠B＝6

8、0°，∠C＝45°，∴∠BAC＝75°，在Rt△ADB中，AD＝，∠B＝60°，∴BD＝＝1，∠BAD＝30°.记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生．由几何概型的概率公式得P(N)＝＝.答案　(1)3　(2)规律方法解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是

9、所对的弧长(曲线长)之比．【训练1】(1)(2014·淄博二模)设P在[0,5]上随机地取值，则关于x的方程x2＋px＋1＝0有实数根的概率为(　　)．A.B.C.D.(2)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．解析　(1)方程有实根，则Δ＝p2－4≥0，解得p≥2或p≤－2(舍去)．所以所求概率为＝.(2)因为在∠DAB内任作射线AP，则等可能基本事件为“∠DAB内作射线AP”，

10、所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，区域h为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为＝＝.答案　(1)C　(2)考点二　与面积有关的几何概型【例2】(1)(2013·陕西卷)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是(　　)．A．1－B.－1C．2－D.(2)(2012

11、·北京卷)设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(　　)．A.B.C.D.解析　(1)依题意知，有信号的区域面积为×2＝，矩形面积为2，故无信号的概率P＝＝1－.(2)如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是.故选D.答案　(1)A　(2)D规律方法数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确

12、表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：P(A)＝.【训练2】已知x∈[－1,1]，y∈[0,2]，则点P(x，y)落在区域内的概率为(　　)．A.B.C.D.解析　不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，其面积为××1＋××1＝，则所求概率为＝.答案　B考点三　与体积有关的几何概型【例3】在棱长为2的正方体ABCD－A