2019版高考数学一轮复习 第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.3 二项式定理学案 理

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1、10.3　二项式定理[知识梳理]1．二项式定理2．二项式系数的性质3．常用结论(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n.(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.(3)C＋2C＋3C＋…＋nC＝n2n－1.(4)CC＋CC＋…＋CC＝C.(5)(C)2＋(C)2＋(C)2＋…＋(C)2＝C.[诊断自测]1．概念思辨(1)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　)(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(a＋b)2n中系数最大的项是第n项．(　　)(3)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数

2、部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(　　)(4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．教材衍化(1)(选修A2－3P30例1)6的展开式的常数项为(　　)A．－192x2B．240xC．－160D.答案　C解析　6的展开式的通项为Tr＋1＝C(2)6－rr＝(－1)r26－rCx3－r(r＝1,2，…，6)，所以当r＝3时为常数项，此时T4＝－23×C＝－160，故选

3、C.(2)(选修A2－3P31例2)二项式10的展开式中系数最大的项为(　　)A．第六项B．第五项和第六项C．第五项和第七项D．第六项和第七项答案　C解析　二项展开式的通项为Tr＋1＝Cx10－r(－x－)r＝(－1)rC·x10－r，每项系数的绝对值与对应的二项式系数相等，由二项式系数性质，知展开式中中间一项即第六项的二项式系数最大为C，但第六项系数为－C，显然不是最大的．又因第五项和第七项的系数相等且为C＝C，再由二项式系数的增减性规律可知选C.3．小题热身(1)(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式

4、中x3y3的系数为(　　)A．－80B．－40C．40D．80答案　C解析　因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C·22＝－40，x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C·23＝80.所以x3y3的系数为80－40＝40.故选C.(2)(2017·山东高考)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________.答案　4解析　(1＋3x)n的展开式的通项为Tr＋1＝C(3x)r.令r＝2，得T3＝9Cx2.由题意得9C＝54，解得n＝4.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　题型1　二项展开式角度

5、1　求二项展开式中的特定项或系数　　(2016·全国卷Ⅰ)(2x＋)5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案)答案　10解析　Tr＋1＝C(2x)5－r·()r＝25－rC·x5－，令5－＝3，得r＝4，∴T5＝10x3，∴x3的系数为10.角度2　已知二项展开式某项的系数求参数　　(2015·湖南高考)已知5的展开式中含x的项的系数为30，则a＝(　　)A.B．－C．6D．－6答案　D解析　5的展开式的通项为Tr＋1＝C()5－r·r＝(－a)rC·x.依题意，令5－2r＝3，得r＝1，∴(－a)1

6、·C＝30，a＝－6，故选D.角度3　多项展开式　　(2015·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)A．10B．20C．30D．60答案　C解析　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5的展开式中只有C(x2＋x)3y2中含x5y2，易知x5y2的系数为CC＝30，故选C.方法技巧1．求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将Tk＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.(3)代回通项得所求．见角度1典例．2．

7、求多项式展开式中的特定项或项的系数问题的方法(1)对于三项式问题，一般先变形化为二项式，再用通项公式求解，或用组合知识求解．见角度3典例．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合与其他因式相乘情况求解特定项，或根据因式连乘的规律，结合组合知识求解，但要注意适当地运用分类思想，以免重复或遗漏．见冲关针对训练2.(3)对于几个多项式和的展开式中的特定项问题，只需依据各个二项展开式中分别得到符合要求的项，再求和即可．冲关针对训练1．(2014·湖北高考)若二项式7的展开式中的系数是84，则

8、实数a＝(　　)A．2B.C．1D.答案　C解析　Tr＋1＝C·(2x)7－r·r＝27－rCar·.令2r－7＝3，则r＝5.由22·Ca5＝84得a＝1，故选C.2．(2014·全国卷Ⅰ)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)答案　－20解析　由二项展开式公式可知，含