2018高考数学异构异模复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.5.1 轨迹与轨迹方程撬题 理

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1、2018高考数学异构异模复习考案第十章圆锥曲线与方程10.5.1轨迹与轨迹方程撬题理1．一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．(1)求曲线C的方程；(2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否

2、存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．解　(1)设点D(t,0)，(

3、t

4、≤2)，N(x0，y0)，M(x，y)，依题意，＝2，且

5、

6、＝

7、

8、＝1，所以(t－x，－y)＝2(x0－t，y0)，且即且t(t－2x0)＝0.由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，于是t＝2x0，故x0＝，y0＝－，代入x＋y＝1，可得＋＝1，即所求的曲线C的方程为＋＝1.(2)(ⅰ)当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝×4×4＝8.(ⅱ)当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋m，由消去y，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.

9、因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－16)＝0，即m2＝16k2＋4.①又由可得P；同理可得Q.由原点O到直线PQ的距离为d＝和

10、PQ

11、＝

12、xP－xQ

13、，可得S△OPQ＝

14、PQ

15、·d＝

16、m

17、

18、xP－xQ

19、＝·

20、m

21、·＝.②将①代入②得，S△OPQ＝＝8.当k2>时，S△OPQ＝8＝8>8；当0≤k2＜时，S△OPQ＝8＝8.因0≤k2<，则0＜1－4k2≤1，≥2，所以S△OPQ＝8≥8，当且仅当k＝0时取等号．所以当k＝0时，S△OPQ的最小值为8.综合(ⅰ)(ⅱ)可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取

22、得最小值8.2．如图，设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．解　(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2.由＝2得

23、DF1

24、＝＝c.从而S△DF1F2＝

25、DF1

26、

27、F1F2

28、＝c2＝，故c＝1.从而

29、DF1

30、＝，由DF1⊥F1F2得

31、DF2

32、2＝

33、DF1

34、2＋

35、F1F2

36、2＝，因此

37、DF2

38、＝.所以2a＝

39、DF1

40、＋

41、DF2

42、＝2，故

43、a＝，b2＝a2－c2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆＋y2＝1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y1>0，y2>0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知x2＝－x1，y1＝y2，

44、P1P2

45、＝2

46、x1

47、.由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，所以＝(x1＋1，y1)，＝(－x1－1，y1)．再由F1P1⊥F2P2得－(x1＋1)2＋y＝0.由椭圆方程得1－＝(x1＋1)2，即3x＋4x1＝0，解得x1＝－或x1＝0.当x1＝0时，P1，P2重合，此时题设要

48、求的圆不存在．当x1＝－时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2.又

49、CP1

50、＝

51、CP2

52、，故圆C的半径

53、CP1

54、＝

55、P1P2

56、＝

57、x1

58、＝.3．在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2,1)．求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．解　(1)设点M(x，y)，依题意得

59、MF

60、＝

61、x

62、＋1，即＝

63、x

64、＋1，化简整理得y2＝2(

65、x

66、

67、＋x)．故点M的轨迹C的方程为y2＝(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x，C2：y＝0(x<0)．依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①(ⅰ)当k＝0时，此时y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.(ⅱ)当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)．②设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③(a)若由②③解得k<－1或k>.即当k∈(－