2019版高考数学一轮复习 第4章 平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算学案 理

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1、4．1　平面向量的概念及线性运算[知识梳理]1．向量的有关概念2．向量的线性运算3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b＝λa.特别提醒：(1)限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．(2)零向量与任何向量共线．(3)平行向量与起点无关．(4)若存在非零实数λ，使得＝λ或＝λ或＝λ，则A，B，C三点共线．[诊断自测]1．概念思辨(1)△ABC中，D是BC中点，E是AD的中点，则＝(＋)．(　　)(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　)(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)(4)当两个非零

2、向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2．教材衍化(1)(必修A4P78A组T5)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)A.＝－＋B.＝－C.＝＋D.＝－答案　A解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.故选A.(2)(必修A4P92A组T12)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示)．答案　b－a　－a－b解析　如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.3．小题热身(1)设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝

3、a

4、a0；

5、②若a与a0平行，则a＝

6、a

7、a0；③若a与a0平行且

8、a

9、＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　)A．0B．1C．2D．3答案　D解析　向量是既有大小又有方向的量，a与

10、a

11、a0的模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－

12、a

13、a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.(2)设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝________.答案　解析　∵a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，∴存在实数t，使得b＝ta，即

14、－e2－e1＝t(e1＋λe2)，－e2－e1＝te1＋tλe2，∴t＝－1，tλ＝－，即λ＝.题型1　平面向量的基本概念　　判断下列各命题是否正确：(1)单位向量都相等；(2)

15、a

16、与

17、b

18、是否相等，与a，b的方向无关；(3)若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；(4)若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；(5)两向量a，b相等的充要条件是

19、a

20、＝

21、b

22、且a∥b.根据向量的相关概念判定．解　(1)不正确．(2)正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．(3)正确，∵＝，∴

23、

24、＝

25、

26、且AB∥DC.又∵A，B，C，

27、D是不共线的四点，∴四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC，且与方向相同．因此＝.(4)不正确，当b＝0时，a与c可以不共线．(5)不正确，当a∥b，但方向相反时，即使

28、a

29、＝

30、b

31、，也不能得到a＝b.方法技巧解决向量的概念问题应关注五点1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．2．共线向量即平行向量，它们均与起点无关．相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量．3．向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．4．非零向量a与

32、的关系：是a方向上的单位向量．5．向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．冲关针对训练下列4个命题：(1)若向量a与b同向，且

33、a

34、>

35、b

36、，则a>b；(2)由于零向量方向不确定，故零向量不能与任意向量平行；(3)λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线；(4)两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件．其中错误命题的序号为________．答案　(1)(2)(3)解析　(1)不正确．因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由零向量方向性质可得0与任一向量

37、平行．(3)不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可能不共线．(4)正确．题型2　平面向量的线性运算　　　如图所示，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么等于(　　)A.－B.＋C.＋D.－用向量的三角形法则转化．答案　D解析　在△CEF中，有＝＋.因为点E是DC的中点，所以＝.因为点F为BC的一个三等分点，所以＝.所以＝＋＝＋＝－，故选D.方法技巧平面向量线性运算问题的求解策略1．进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出

38、来．2．向量的线性运算类