2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.11导数在研究函数中的应用（一）学案文

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1、2．11　导数在研究函数中的应用(一)[知识梳理]1．函数的单调性与导数2．函数的极值与导数设函数f(x)在点x0及其附近有定义极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．极值点与导数：可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如，函数y＝x3在x＝0处有y′＝0，但x＝0不是极值点．此外，函数的不可导点也可能是函数的极值点．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[

2、a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．4．极值与最值(1)当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点；(2)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．[诊断自测]1．概念思辨(1)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”．(　　)(2)若函数f(x)在(a，b)内恒有f

3、′(x)>0，那么f(x)在(a，b)上单调递增；反之，若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　)(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　　)(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．教材衍化(1)(选修A1－2P93T2)已知函数f(x)＝x2－ln

4、x

5、，则函数y＝f(x)的大致图象是(　　)答案　A解析　f(－x)＝

6、(－x)2－ln

7、－x

8、＝x2－ln

9、x

10、＝f(x)，∴f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除D；当x>0时，f(x)＝x2－lnx，f′(x)＝2x－＝，∴当0时，f′(x)>0，∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，排除C；当x＝时，f(x)取得最小值f＝－ln>0，排除B.故选A.(2)(选修A1－2P93T3)已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是(　　)A．0B．1C．2D．3答案　D解析　由题意得f′(x)＝3x

11、2－a，∵函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，∴在[1，＋∞)上，f′(x)≥0恒成立，即a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，∴a≤3.故选D.3.小题热身(1)(2013·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(　　)A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)上单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0答案　C解析　∵若x0是f(x)的极小值点，则

12、y＝f(x)的图象大致如右图所示，则在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．故选C.(2)(2018·武汉模拟)若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)>1，则不等式f(x)－x>0的解集为________．答案　(2，＋∞)解析　令g(x)＝f(x)－x，∴g′(x)＝f′(x)－1.由题意知g′(x)>0，∴g(x)为增函数．∵g(2)＝f(2)－2＝0，∴g(x)>0的解集为(2，＋∞)．题型1　利用导数研究函数的单调性角度1　判断或证明函数的单调性　　(2017·全国卷Ⅰ)已

13、知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．含参数的导数解答题，首先求定义域，注意应用分类讨论思想方法．解　(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．①若a＝0，则f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a>0，则由f′(x)＝0得x＝lna.当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，lna)上单调递减

14、，在(lna，＋∞)上单调递增．③若a<0，则由f′(x)＝0得x＝ln.当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增．(2)①若a＝0，则f(x)＝e2x，所以f(x)≥0.②若a>0，则由(1)得，当x＝lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(lna)＝－a2lna，从而当且仅当－a2lna≥0，即a≤1时，f(x)≥0.③若a<0，则由(1)得，当x＝ln时，f(x)取得最小值，最小值为f＝a2，从而当且仅当a2≥0