2019版高考数学一轮复习 第7章 立体几何 7.5 直线、平面垂直的判定与性质学案 理

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1、7．5　直线、平面垂直的判定与性质[知识梳理]1．直线与平面垂直判定定理与性质定理2．平面与平面垂直判定定理与性质定理3．直线和平面所成的角范围：.4．二面角范围[0，π]．5．必记结论(1)若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线．(3)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(4)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(5)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直．(6)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．[诊断自测]1．概念思辨(1)直线

2、l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　)(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　)(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．教材衍化(1)(必修A2P73A组T1)若m，n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为(　　)①⇒m∥n；②⇒m⊥n；③⇒n⊥α.A．1B．2C．3D．0答案　B解析　③不正确，直线n与α不一定垂直，可能是平行或相交或在平面内．①②均正确．故选B.(2)(必修A2P6

3、7T2)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，①若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；②若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．答案　①外　②垂解析　①如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．②如图2，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高

4、，同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．3．小题热身(1)(2017·湖南六校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　　)A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β答案　C解析　由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．故选C.(2)(2018·辽宁五校联考)假设平面α∩平面β＝EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分别为B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有下面四个条件：①AC⊥α；②AC∥α；③AC与BD在β内的射影在同一条直线上

5、；④AC∥EF.其中能成为增加条件的是________．(把你认为正确的条件序号都填上)答案　①③解析　如果AB与CD在一个平面内，可以推出EF垂直于该平面，又BD在该平面内，所以BD⊥EF.故要得到BD⊥EF，只需AB，CD在一个平面内即可，只有①③能保证这一条件．题型1　直线与平面垂直的判定与性质角度1　直线与平面垂直的判定定理　　(2016·全国卷Ⅰ)如图，已知正三棱锥P－ABC的侧面是直角三角形，PA＝6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(1)证明：G是AB的中点；(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投

6、影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．利用线面垂直判定定理进行证明．解　(1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB⊥PD.因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE.又PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.又由已知可得，PA＝PB，从而G是AB的中点．(2)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，又PA∩PC＝P，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连接CG，因为P在平面ABC内的正投影

7、为D，所以D是正三角形ABC的中心，由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝CG.由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE＝PG，DE＝PC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA＝6，可得DE＝2，PE＝2.在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，所以四面体PDEF的体积V＝××2×2×2＝.角度2　垂直关系中的探索性问题　　如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点．(1)证明：AE∥平面BDF；(2)点M