2019版高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数学案 文

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1、2.4　二次函数与幂函数[知识梳理]1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质2．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质[诊断自测]1．概念思辨(1)当α<0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．(　　)(2)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0恒成立的充要条件是(　　)(3)二次函数y＝

2、ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　)(4)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　2．教材衍化(1)(必修A1P44T9)函数y＝(x2－3x＋10)－1的递增区间是(　　)A．(－∞，－2)B．(5，＋∞)C.D.答案　C解析　由于x2－3x＋10>0恒成立，即函数的定义域为(－∞，＋∞)，设t＝x2－3x－10，则y＝t－1是(0，＋∞)上的减函数，根据复合函数单调性的性质，要求函数y＝(x2－3x＋10)－1的递增区间，即求t＝x2－3x＋10

3、的单调递减区间，∵t＝x2－3x＋10的单调递减区间是，则所求函数的递增区间为.故选C.(2)(必修A1P78探究)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是(　　)A．d>c>b>aB．a>b>c>dC．d>c>a>bD．a>b>d>c答案　B解析　幂函数a＝2，b＝，c＝－，d＝－1的图象，正好和题目所给的形式相符合，在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d.故选B.3．小题热身(1)(2017·济南诊断)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　)

4、A.B．1C.D．2答案　C解析　由幂函数的定义知k＝1.又f＝，所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.故选C.(2)函数f(x)＝x2－ax－a在[0,2]上的最大值为1，则实数a等于(　　)A．－1B．1C．－2D．2答案　B解析　解法一：(分类讨论)当对称轴x＝≤1，即a≤2时，f(x)max＝f(2)＝4－3a＝1，解得a＝1符合题意；当a>2时，f(x)max＝f(0)＝－a＝1，解得a＝－1(舍去)．综上所述，实数a＝1.故选B.解法二：(代入法)当a＝－1时，f(x)＝x2＋x＋1在[0,2]上的最大值为f(2)＝7≠1，排除A；当a＝1时，f(x)＝x2－x

5、－1在[0,2]上的最大值为f(2)＝1，B正确；当a＝－2时，f(x)＝x2＋2x＋2在[0,2]上的最大值为f(2)＝10≠1，排除C；当a＝2时，f(x)＝x2－2x－2在[0,2]上的最大值为f(0)＝f(2)＝－2≠1，排除D.故选B.题型1　幂函数的图象与性质　　(2017·长沙模拟)已知函数f(x)＝x，则(　　)A．∃x0∈R，使得f(x)<0B．∀x∈[0，＋∞)，f(x)≥0C．∃x1，x2∈[0，＋∞)，使得<0D．∀x1∈[0，＋∞)，∃x2∈[0，＋∞)使得f(x1)>f(x2)根据幂函数的性质逐项验证．答案　B解析　由函数f(x)＝x，知：在

6、A中，f(x)≥0恒成立，故A错误；在B中，∀x∈[0，＋∞)，f(x)≥0，故B正确；在C中，∀x1，x2∈[0，＋∞)，x1≠x2，都有>0，故C错误；在D中，当x1＝0时，不存在x2∈[0，＋∞)使得f(x1)>f(x2)，故D不成立．故选B.　　(2018·荣城检测)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．用数形结合法．答案　(0,1)解析　作出函数y＝f(x)的图象如图．则当0

7、等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解．见典例2.冲关针对训练1．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　)答案　D解析　因为a>0，所以f(x)＝xa在(0，＋∞)上为增函数，故A错误；在B中，由f(x)的图象知a>1，由g(x)的图象知01，矛盾，故C错误；在D中，由f(x)的图象知0