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时间:2018-12-16
《2019版高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 8.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程学案 理》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、8.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程[知识梳理]1.直线的斜率(1)当α≠90°时,tanα表示直线l的斜率,用k表示,即k=tanα.当α=90°时,直线l的斜率k不存在.(2)斜率公式给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),经过P1,P2两点的直线的斜率公式为k=.2.直线方程的五种形式[诊断自测]1.概念思辨(1)直线的斜率为tanα,则其倾斜角为α.( )(2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )(3)经过点P(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示.
2、( )(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.教材衍化(1)(必修A2P109A组T2)如果A·C<0,且B·C<0,那么直线Ax+By+C=0不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 C解析 由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距->0,在y轴上的截距->0,故直线经过一、二、四象限,不经过第三象限.故选C.(2)(必修A
3、2P95T3)倾斜角为150°,在y轴上的截距为-3的直线方程为________.答案 y=-x-3解析 由直线的倾斜角为150°,知该直线的斜率为k=tan150°=-,依据直线的斜截式方程y=kx+b,得y=-x-3.3.小题热身(1)(2017·贵州模拟)已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为-,则直线l的方程为( )A.3x+4y-14=0B.3x-4y+14=0C.4x+3y-14=0D.4x-3y+14=0答案 A解析 由点斜式方程知直线l的方程为y-5=-(x+2),即3x+4y-14=0.故选
4、A.(2)已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1答案 D解析 当a=0时,直线方程为y-2=0,不满足题意,所以a≠0,所以在x轴上的截距为,在y轴上的截距为2+a,则由2+a=,得a=-2或a=1.故选D.题型1 直线的倾斜角与斜率 直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为________.数形结合,由斜率公式求得kPA,kPB.答案 (-∞,-]∪[1,+∞)解析 如图,
5、∵kAP==1,kBP==-,∴k∈(-∞,-]∪[1,+∞).方法技巧求直线倾斜角与斜率问题的求解策略1.求直线倾斜角或斜率的取值范围时,常借助正切函数y=tanx在[0,π)上的单调性求解,这里特别要注意,当α∈时,斜率k∈[0,+∞);当α=时,斜率不存在;当α∈时,斜率k∈(-∞,0).2.先画出满足条件的图形,找到直线所过的点,然后求定点与端点决定的直线的斜率.见典例.冲关针对训练已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1,1)和Q(2,2),若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点,则实数m的取值范围是
6、________.答案 -≤m≤解析 如图所示,直线l:x+my+m=0过定点A(0,-1),当m≠0时,kQA=,kPA=-2,kl=-,∴-≤-2或-≥,解得07、斜截式、截距式、点斜式.解 (1)设直线的倾斜角为α,则sinα=.∴cosα=±,直线的斜率k=tanα=±.又直线在y轴上的截距是-5,由斜截式得直线方程为y=±x-5.即3x-4y-20=0或3x+4y+20=0.(2)设直线l在x,y轴上的截距均为a,若a=0,即l过点(0,0)和(3,2).∴l的方程为y=x,即2x-3y=0.若a≠0,则设l的方程为+=1.∵l过点P(3,2),∴+=1.∴a=5,∴l的方程为x+y-5=0.综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.(3)设直线y=3x8、的倾斜角为α,则所求直线的倾斜角为2α.∵tanα=3,∴tan2α==-.又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.方法技巧给定条件求直线方程的思路1.求直线方程常用的两种方法(1)直接法:根据已知条件,直接写出直线的方程,如本例(1)、(3)求直线方程,则直接利用斜截式即可.(2)待定系数法:即设定含有参数的直线方程
7、斜截式、截距式、点斜式.解 (1)设直线的倾斜角为α,则sinα=.∴cosα=±,直线的斜率k=tanα=±.又直线在y轴上的截距是-5,由斜截式得直线方程为y=±x-5.即3x-4y-20=0或3x+4y+20=0.(2)设直线l在x,y轴上的截距均为a,若a=0,即l过点(0,0)和(3,2).∴l的方程为y=x,即2x-3y=0.若a≠0,则设l的方程为+=1.∵l过点P(3,2),∴+=1.∴a=5,∴l的方程为x+y-5=0.综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.(3)设直线y=3x
8、的倾斜角为α,则所求直线的倾斜角为2α.∵tanα=3,∴tan2α==-.又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.方法技巧给定条件求直线方程的思路1.求直线方程常用的两种方法(1)直接法:根据已知条件,直接写出直线的方程,如本例(1)、(3)求直线方程,则直接利用斜截式即可.(2)待定系数法:即设定含有参数的直线方程
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