2018版高中数学 第二章 函数 2.2.1 第2课时 函数的最大值、最小值学案 苏教版必修1

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1、第2课时　函数的最大值、最小值1．理解函数的最大(小)值的定义及其几何意义．(重点)2．会求一些简单函数的最大值或最小值．(重点、难点)[基础·初探]教材整理　函数的最大值、最小值阅读教材P38例2至P40例5，完成下列问题．1．函数的最大值一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)．2．函数的最小值一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为y

2、min＝f(x0)．(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为________，最小值为________．(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为________，最小值为________．(3)已知函数y＝f(x)的定义域是[a，b]，当x∈[a，c]时，f(x)是单调增函数；当x∈[c，b]时，f(x)是单调减函数，则f(x)在x＝c时取得________．(4)已知函数y＝f(x)的定义域是[a，b]，当x∈[a，c]时，f(x)是单调减函数；当x∈[c，b]时，f(x)是单调增函数，则f(x)在__

3、______时取得最小值．【答案】　(1)f(b)　f(a)　(2)f(a)　f(b)　(3)最大值　(4)x＝c[小组合作型]利用图象求函数的最值　求函数y＝

4、x＋1

5、＋

6、x－2

7、(－2≤x≤4)的最值．【精彩点拨】　先整理化简函数关系式，写成分段函数的形式，作出图象，再找最高点和最低点即可．【自主解答】　原函数y＝

8、x＋1

9、＋

10、x－2

11、＝图象如图．故函数的最小值为3，最大值为7.用图象法求最值的一般步骤[再练一题]1．(1)函数f(x)在[－2,2]上的图象如图223所示，则此函数的最小值、最大值分别是________．图223(2)已知函数f(x)＝在区间[1,

12、2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B＝________.(3)函数f(x)＝的最大值是________．【解析】　(1)f(x)max＝2，f(x)min＝－1.(2)f(x)＝在[1,2]上的图象是单调递减的，∴A＝f(1)＝2，B＝f(2)＝1，∴A－B＝1.(3)作出f(x)的图象如图所示，∴f(x)max＝3.【答案】　(1)2　－1　(2)1　(3)3利用单调性求函数的最值　已知函数f(x)＝.(1)用函数单调性定义证明f(x)＝在(1，＋∞)上是单调减函数；(2)求函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值与最小值．【精彩点拨】　(1)利用单调性的定义证

13、明．(2)利用(1)的结论求最值．【自主解答】　(1)证明：设x1，x2为区间(1，＋∞)上的任意两个实数，且10，x1－1>0，x2－1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．故函数f(x)＝在(1，＋∞)上为单调递减函数．(2)由上述(1)可知，函数f(x)＝在[3,4]上为单调递减函数，所以在x＝3时，函数f(x)＝取得最大值；在x＝4时，函数f(x)＝取得最小值.1．当函数图象不好作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值．2．函数的最值与单调性的关系(1)

14、若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；(2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)；(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值．[再练一题]2．求函数f(x)＝在[－4，－3]上的最值．【解】　任取x1，x2∈[－4，－3]且x10，∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(

15、x)在[－4，－3]上单调递减，∴f(x)max＝f(－4)＝，f(x)min＝f(－3)＝，∴f(x)在[－4，－3]上最大值为，最小值为.[探究共研型]二次函数求值域探究1　如图224是函数f(x)＝(x－1)2－1的图象，说明当定义域分别为[－1,0]，和[0,3]时，f(x)的单调性．图224【提示】　f(x)在[－1,0]上单调递减；在上单调递增；在[0,1]上单调递减，在(1,3]上单调递增．探究2　结合图象说明当定义域分别为上述三个区间时，f(x)的最值．【提示】　结合图象的单调性，可得x∈[－1,0]时，f(x)max＝f(－1)＝3