2017-2018学年高中数学 课下能力提升（十）垂直关系的性质 北师大版必修2

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1、课下能力提升（十）垂直关系的性质一、选择题1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有(　　)A．α⊥γ且l⊥m　　　　　B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥mD．α∥β且α⊥γ2．(浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面(　　)A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β3．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，PE⊥DE，则PE的

2、长为(　　)A.B.C.D.4．设平面α⊥平面β，且α∩β＝l，直线aα，直线bβ，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与b(　　)A．可能垂直，不可能平行B．可能平行，不可能垂直C．可能垂直，也可能平行D．不可能垂直，也不可能平行5．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列命题正确的是(　　)A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平

3、面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC二、填空题6．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.7．已知平面α⊥平面β，在α，β的交线上取线段AB＝4cm，AC，BD分别在平面α和β内，它们都垂直于AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，则CD的长为________cm.8．已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列命题：①若

4、α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β＝m，m∥n，且nα，nβ，则n∥α且n∥β.其中正确的命题的序号是________(注：把你认为正确的命题的序号都填上)．三、解答题9．如图，A，B，C，D是空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边△ADB所在的平面以AB为轴可转动．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长；(2)当△ADB转动过程中，是否总有AB⊥CD？请证

5、明你的结论．10．如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABC，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥AB；(2)若PA＝AD，求证：MN⊥平面PCD.答案1.解析：选A　∵m⊥γ，mα，lγ，∴α⊥γ，m⊥l；B错，有可能mβ；C错，有可能mβ；D错，有可能α与β相交．2.解析：选C　逐一判断可知，选项A中的m，n可以相交，也可以异面；选项B中的α与β可以相交；选项D中的m与β的位置关系可以平行、相交、m在β内，故选C.3.解析：选B　如图所示，连接AE.∵PA⊥平面ABCD，B

6、D平面ABCD，∴PA⊥BD.又∵BD⊥PE，PA∩PE＝P，∴BD⊥平面PAE，∴BD⊥AE.∴AE＝＝.所以在Rt△PAE中，由PA＝1，AE＝，得PE＝.4.解析：选B　当a，b都平行于l时，a与b平行，假设a与b垂直，如图所示，由于b与l不垂直，在b上任取一点A，过点A作b′⊥l，∵平面α⊥平面β，∴b′⊥平面α，从而b′⊥a，又由假设a⊥b易知a⊥平面β，从而a⊥l，这与已知a不与l垂直矛盾，∴假设不正确，a与b不可能垂直．5.解析：选D　在图①中，∵∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠

7、ADB＝∠ABD＝45°.∵AD∥BC，∴∠DBC＝45°.又∵∠BCD＝45°，∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD.在图②中，此关系仍成立．∵平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD.∵BA平面ADB，∴CD⊥AB.∵BA⊥AD，∴BA⊥平面ACD.∵BA平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.6.解析：利用面面垂直的判定，可知①③④⇒②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④⇒①为真．答案：若①③④，则②(或若②③④，则①)7.解析：如图，连接AD，CD.在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝12，∴

8、AD＝＝4cm.又∵α⊥β，CA⊥AB，CAα，∴CA⊥β.∴△CAD为直角三角形．∴CD＝＝＝＝13(cm)．答案：138.解析：如图，命题①显然错误．设α∩β∩γ＝m，过m上任意一点，在γ内作n⊥m，则直线n既不垂直于α，又不垂直于β.命题②正确．∵α∥β，∴α与β无公共点，∴直线m与直线n也无公共点．又m∈γ，n∈γ，∴m∥n.命题③错误．虽然直线m不垂直于α，但m有可能垂直于平面α内的一条直线，于是α内所有平行于这条直线的无数平行线都垂直于m.命题④正确．由直线与平面平行的判定定理可知∵