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《2017-2018学年高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.1 柯西不等式练习 北师大版选修4-5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§1 柯西不等式课后篇巩固探究A组1.若a2+b2=2,则a+b的最大值为( )A.1B.C.2D.4解析:由柯西不等式可得(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2,即(a+b)2≤4,当且仅当a=b=1时等号成立,所以-2≤a+b≤2,即a+b的最大值为2.答案:C2.若x2+y2+z2=1,则x+y+z的最大值等于( )A.2B.4C.D.8解析:由柯西不等式可得[12+12+()2](x2+y2+z2)≥(x+y+z)2,即(x+y+z)2≤4,当且仅当x=,y=,z=时等号成立,因此x+y+z≤2,即x+y+z的最大值等于2.答案:A3.设a,b,
2、c均为正数,且a+b+c=9,则的最小值为( )A.81B.49C.9D.7解析:由柯西不等式可得(a+b+c)·81=9,当且仅当,即a=2,b=3,c=4时等号成立,故所求最小值为9.答案:C4.函数y=+2的最大值是( )A.B.C.3D.5解析:根据柯西不等式,知y=1×+2×≤,当且仅当=2,即x=时,等号成立.答案:B5.设a,b∈R,且a2+b2=5,则3a+b的最小值为( )A.5B.-5C.-50D.-5解析:令α=(a,b),β=(3,1),则α·β=3a+b,
3、α
4、=,
5、β
6、=.由柯西不等式的向量形式可得
7、α·β
8、≤
9、α
10、
11、β
12、,所以
13、
14、3a+b
15、≤=5,当且仅当a=,b=时等号成立,因此-5≤3a+b≤5,即3a+b的最小值为-5.答案:D6.设a,b,c是正实数,且a+b+c=9,则的最小值为 . 解析:因为(a+b+c)=[()2+()2+()2]=18,当且仅当a=b=c=3时等号成立,所以≥2,故的最小值为2.答案:27.设a,b,c,d,m,n都是正实数,P=,Q=,则P与Q的大小关系是 . 解析:P=≤==Q当且仅当时,等号成立.答案:P≤Q8.已知a,b,m,n均为正实数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为 . 解析:由柯西不
16、等式,得(am+bn)(bm+an)≥()2=mn(a+b)2=2,当且仅当m=n=时,等号成立.故(am+bn)(bm+an)的最小值为2.答案:29.已知a,b,c为正实数,且满足acos2θ+bsin2θ0,2-b>0,所以=2,当且仅当a=b=1时等号成立
17、.故原不等式成立.B组1.若实数x+y+z=1,则2x2+y2+3z2的最小值为( ) A.1B.6C.11D.解析:∵(2x2+y2+3z2)≥=(x+y+z)2=1,∴2x2+y2+3z2≥,当且仅当x=,y=,z=时,等号成立.∴2x2+y2+3z2的最小值为.答案:D2.若长方形ABCD是半径为R的圆的内接长方形,则长方形ABCD周长的最大值为( )A.2RB.2RC.4RD.4R解析:如图,设内接长方形ABCD的长为x,则宽为,于是ABCD的周长l=2(x+)=2(1·x+1·).由柯西不等式得l≤2[x2+()2(1
18、2+12=2×2R×=4R,当且仅当x·1=·1,即x=R时等号成立.此时R,即四边形ABCD为正方形,故周长为最大的内接长方形是正方形,其周长为4R.答案:D3.已知a,b,c为正实数,且a+2b+3c=9,则的最大值等于( )A.B.C.13D.18解析:,当且仅当a=,b=,c=时等号成立,故最大值为.答案:A4.设a,b,c为正数,则(a+b+c)的最小值是 . 解析:(a+b+c)=[()2+()2+()2]·≥=(2+3+6)2=121.当且仅当时等号成立.答案:1215.已知a,b∈R+,且a+b=1,则的最小值是 . 解析:因为a
19、,b∈R+,且a+b=1,所以=(a+b),由柯西不等式得(a+b),当且仅当且a+b=1,即a=-1,b=2-时,取最小值.答案:6.已知x2+y2=2,且
20、x
21、≠
22、y
23、,求的最小值.解令u=x+y,v=x-y,则x=,y=.∵x2+y2=2,∴(u+v)2+(u-v)2=8,∴u2+v2=4.由柯西不等式,得(u2+v2)≥4,当且仅当u2=v2=2,即x=±,y=0或x=0,y=±时,的最小值是1.7.导学号35664034已知x,y,z∈R,且x-2y-3z=4,求x2+y2+z2的最小值.解由柯西不等式得[x+(-2)y+(-3)z]2≤[12+(-2
24、)2+(-3)2](x2
