高考数学人教a版理一轮复习配套word版文档：第三篇第2讲导数的应用一

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1、第2讲导数的应用(一)A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·石景山模拟)若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是(　　)．A．(－2，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，2)解析　由条件得h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈(－2，＋∞)．答案　A2．(2013·郑州检测)函数f(x)＝(4－x)ex的单调递减区间是(　　)．A．(－∞，4)B．(－∞，3)C．(4，＋∞)D．(3，＋∞)解析　f′(x)＝ex＋(4

2、－x)·ex＝ex(3－x)，令f′(x)<0，由于ex>0，∴3－x<0，解得x>3.答案　D3．(2013·安庆模拟)下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)．A．f(x)＝sin2xB．f(x)＝xexC．f(x)＝x3－xD．f(x)＝－x＋lnx解析　sin2x＝2sinxcosx，(sin2x)′＝2(cos2x－sin2x)，在(0，＋∞)不恒大于零；(x3－x)′＝3x2－1，在(0，＋∞)不恒大于零；(－x＋lnx)′＝－1＋在(0，＋∞)不恒大于零；(xex)′＝ex＋xex，当x∈(0，＋∞)时ex＋xex>0，故选B.答案　B4．函数f(x)

3、的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为(　　)．A．{x

4、x>0}B．{x

5、x<0}C．{x

6、x<－1或x>1}D．{x

7、x<－1或0ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数，又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.答案　A二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y＝x－2sinx在

8、[0，π]上的递增区间是________．解析　y′＝1－2cosx，令1－2cosx≥0，得cosx≤，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈R，又0≤x≤π，∴≤x≤π.答案　6．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．解析　设切点坐标为(x0，y0)又y′＝，由已知条件解得a＝2.答案　2三、解答题(共25分)7．(12分)设函数f(x)＝ax3－3x2，(a∈R)，且x＝2是y＝f(x)的极值点，求函数g(x)＝ex·f(x)的单调区间．解　f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．因为x＝2是函数y＝f(x)的极值点．所以f′(

9、2)＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1，经验证，当a＝1时，x＝2是函数f(x)的极值点，所以g(x)＝ex(x3－3x2)，g′(x)＝ex(x3－3x2＋3x2－6x)＝ex(x3－6x)＝x(x＋)(x－)ex.因为ex>0，所以y＝g(x)的单调增区间是(－，0)和(，＋∞)；单调减区间是(－∞，－)和(0，)．8．(13分)已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．解　(1)由f(x)＝x3＋

10、ax2－x＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax－1.当x＝时，得a＝f′＝3×2＋2a×－1，解之，得a＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c.则f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x－1)，列表如下：x－1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值·极小值所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－)和(1，＋∞)；f(x)的单调递减区间是.(3)函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex，有g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex＝(－x2－3x＋c－1)ex，因为函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，所以h(x)

11、＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立．只要h(2)≥0，解得c≥11，所以c的取值范围是[11，＋∞)．探究提高　利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．定义在R上