小学奥数：4-2-5 平移、旋转、割补.教师版

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1、4-2-5.平移、旋转、割补例题精讲图形变换，是指不改变图形的大小、形状，只通过位置关系的改变（旋转、平移、折叠等），构成新的图形．【例1】右图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10．中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？【考点】平移、旋转、割补【难度】2星【题型】解答【解析】如图所示，将道路平移后的。【答案】【例2】如图所示，一个正十二边形的边长是1厘米，空白部分是等边三角形，一共有12个．请算出阴影部分的面积．【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答【解析】如图，将阴影部分分割成一个正六边形

2、和12个小三角形，再把正六边形分割成6个正三角形，由于正十二边形的每个内角为，所以阴影小三角形的顶角等于，每个顶角的两边和与其相邻的正三角形的底边所成的角都是，所以通过如右上图所示的平移可以组成6个边长为1厘米的正方形，所以所求阴影部分面积为平方厘米．【答案】【例3】如图所示，梯形中，平行于，又，，．试求梯形的面积．【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答【解析】如右图，将沿平移至,连接,在三角形中，有，，，有，所以三角形为直角三角形．由于，所以梯形的面积与三角形的面积相等，为．【答案】【例2】如下图，六边形中，，，，且有平行于，平行于，平行于，对角线垂直于，已

3、知厘米，厘米，请问六边形的面积是多少平方厘米？【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答【解析】如图，我们将平移使得与重合，将平移使得与重合，这样、都重合到图中的了．这样就组成了一个长方形，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形的面积为平方厘米，所以六边形的面积为平方厘米．【答案】【例3】如图2，六边形为正六边形，为对角线上一点，若、的面积为与，则正六边形的面积是　　　　．【考点】平移、旋转、割补【难度】4星【题型】解答【关键词】迎春杯、中年级、初赛、7题【解析】这是一道几何问题，考察同学们对常见图形性质的认识．正六边形的六条边都相等，每个角都是，每一组对边都互

4、相平行，正六边形可以看作是由六个正三角形拼成的（如图（1））．其中正六边形的面积是正三角形面积的6倍．每相邻两个正三角形拼成的是一个平行四边形．如图（2），连结，三角形的面积是平行四边形面积的一半．六边形的面积是平行四边形的3倍，故六边形的面积是三角形的面积的6倍．如图（3），连结，，三角形的面积与三角形的面积和是平行四边形面积的一半．而六边形的面积是平行四边形的1.5倍，故六边形的面积是三角形的面积与三角形的面积和的3倍．所以，由、的面积分别为3与4，可知正六边形的面积是．【答案】【例1】正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米，B1,B2,B3,B4

5、,B5,B6分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是　　　　平方厘米．【考点】平移、旋转、割补【难度】5星【题型】解答【关键词】迎春杯、六年级、初赛、14题【解析】如图，设与的交点为，则图中空白部分由个与一样大小的三角形组成，只要求出了的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.连接、、设的面积为“”，则面积为“”，面积为“”，那么面积为的倍，为“”，梯形的面积为，的面积为“”，的面积为根据蝴蝶定理，，故，所以，即的面积为梯形面积的，故为六边形面积的，那么空白部分的面积为正六边形面积的，所以阴影部分面积为(平方厘米).【答案】【例1】按照图中的样子

6、，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角边分别为和，乙三角形两条直角边分别为和，求图中阴影部分的面积．【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答【解析】如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之和．所以阴影部分面积为：【答案】【例2】在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图)，求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几.【考点】平移、旋转、割补【难度】3星【题型】解答【解析】阴影总值是一个梯形.我们用三种方法解答.⑴割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直

7、角三角形.将这两个直角三角形拼成一个长方形(见下图).显然，阴影部分正好是长方形的，所以原题阴影部分占整个图形面积的.⑵拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图).显然，图中阴影面积占平行四边形面积的.根据商不变性质，将阴影面积和平行四边形面积同时除以，商不变.所以原题阴影部分占整个图形面积的.⑶等分法将原图等分成个小三角形(见右上图)，阴影部分占个小三角形，所以阴影部分占整个图形面积的.注意，后两种方法对任意三角形都适用.也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立.【答案】【例1】如下左图，有