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时间:2018-12-15
《小学奥数:7-6-4 计数之递推法.学生版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、7-6-4.计数之递推法教学目标前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法,比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等,这里再集中学习一下计数中其他常见的方法,主要有归纳法、整体法、对应法、递推法.对这些计数方法与技巧要做到灵活运用.例题精讲对于某些难以发现其一般情形的计数问题,可以找出其相邻数之间的递归关系,有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数,这种方法称为递推法.【例1】每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子,而每对大兔子每个月能生出一对小兔子来.如果一个人在一月份买了一对小兔子,那么十二月份的时候他共有多少对兔子?【考点
2、】计数之递推法【难度】3星【题型】解答【解析】第一个月,有1对小兔子;第二个月,长成大兔子,所以还是1对;第三个月,大兔子生下一对小兔子,所以共有2对;第四个月,刚生下的小兔子长成大兔子,而原来的大兔子又生下一对小兔子,共有3对;第五个月,两对大兔子生下2对小兔子,共有5对;……这个特点的说明每月的大兔子数为上月的兔子数,每月的小兔子数为上月的大兔子数,即上上月的兔子数,所以每月的兔子数为上月的兔子数与上上月的兔子数相加.依次类推可以列出下表:经过月数:---1---2---3---4---5---6---7---8---9---10---11---12兔子对数:---1---1--
3、-2---3---5---8--13--21--34--55--89—144,所以十二月份的时候总共有144对兔子.【答案】【例2】树木生长的过程中,新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长,而后才能萌发新枝.一棵树苗在一年后长出一条新枝,第二年新枝“休息”,老枝依旧萌发新枝;此后,老枝与“休息”过一年的枝同时萌发,当年生的新枝则依次“休息”.这在生物学上称为“鲁德维格定律”.那么十年后这棵树上有多少条树枝?【考点】计数之递推法【难度】3星【题型】解答【解析】一株树木各个年份的枝桠数,构成斐波那契数列:1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,……所以十年后树上有89条树
4、枝.【答案】【例3】一楼梯共10级,规定每步只能跨上一级或两级,要登上第10级,共有多少种不同走法?【考点】计数之递推法【难度】4星【题型】解答【解析】登1级 2级 3级 4级 ...... 10级1种方法 2种 3种 5种 ...... ?我们观察每级的种数,发现这么一个规律:从第三个数开始,每个数是前面两个数的和;依此规律我们就可以知道了第10级的种数是89.其实这也是加法的运用:假如我们把这个人开始登楼梯的位置看做A0,那么登了1级的位置是在A1,2级在A2...A10级就在A10.到A3
5、的前一步有两个位置;分别是A2和A1.在这里要强调一点,那么A2到A3 既然是一步到了,那么A2、A3之间就是一种选择了;同理A1到A3也是一种选择了.同时我们假设到n级的选择数就是An.那么从A0到A3就可以分成两类了:第一类:A0----A1------A3,那么就可以分成两步.有A1×1种,也就是A1 种;(A1------A3是一种选择)第二类:A0----A2------A3,同样道理有A2 .类类相加原理:A3=A1+A2,依次类推An=An-1+An-2.【答案】【巩固】一楼梯共10级,规定每步只能跨上一级或三级,要登上第10级,共有多少种不同走法?【考点】计数之递推法
6、【难度】4星【题型】解答【解析】登1级 2级 3级 4级 5级...... 10级1种方法 1种 2种 3种 4种...... ?我们观察每级的种数,发现这么一个规律:从第三个数开始,每个数是前面相隔的两个数的和;依此规律我们就可以知道了第10级的种数是28.【答案】【例1】1×2的小长方形(横的竖的都行)覆盖2×10的方格网,共有多少种不同的盖法.【考点】计数之递推法【难度】4星【题型】解答【解析】如果用的长方形盖的长方形,设种数为,则,,对于,左边可能竖放1个的,也可能横放2个的,前者有种,
7、后者有种,所以,所以根据递推,覆盖的长方形一共有89种.【答案】【例1】用的小长方形覆盖的方格网,共有多少种不同的盖法?【考点】计数之递推法【难度】5星【题型】解答【解析】如果用的长方形盖的长方形,设种数为,则,,,对于,左边可能竖放1个的,也可能横放3个的,前者有种,后者有种,所以,依照这条递推公式列表:112346913所以用的小长方形形覆盖的方格网,共有13种不同的盖法.【答案】【例2】有一堆火柴共12根,如果规定每次取1~3根,那么取完这堆火柴共有
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