数学人教a版必修5第一章1.1.2余弦定理 (2)

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1、1.1.2　余弦定理1．了解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理及其推论．2．能利用余弦定理解三角形，并判断三角形的形状．余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和______这两边与它们的夹角的余弦的积的____倍图形语言符号语言在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB，c2＝__________推论在△ABC中，cosA＝，cosB＝，cosC＝____________作用解三角形、判断三角形的形状等(1)余弦定理中包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三

2、个量，便可求得第四个量，即“知三求一”．(2)余弦定理适用的题型：①已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解．(3)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具．[来源:学科网]【做一做1】在△ABC中，a＝4，b＝4，C＝30°，则c2等于(　　)A．32－16B．32＋16C．16D．48【做一做2】在△ABC中，a＝2，b＝5，c＝6，则cosB等于(　　)．A.B.C.D．－答案：减去　两

3、　a2＋b2－2abcosC　【做一做1】A【做一做2】A　cosB＝＝.1．确定三角形中三个内角的范围剖析：由余弦定理，可得在△ABC中，cosA＝.若A为锐角，则cosA＞0，有b2＋c2－a2＞0，即b2＋c2＞a2；若A为直角，则cosA＝0，有b2＋c2－a2＝0，即b2＋c2＝a2；若A为钝角，则cosA＜0，有b2＋c2－a2＜0，即b2＋c2＜a2.由此可得到一个在解选择题和填空题时经常用到的结论：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角为直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果

4、大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．2．利用正弦定理、余弦定理求角的区别[来源:学科网ZXXK]剖析：如表所示．[来源:学,科,网]余弦定理正弦定理相同点先求某种三角函数值再求角不同点条件已知三边已知两边一角[来源:Z#xx#k.Com]依据cosA＝等sinA＝等求角解方程cosA＝m，A∈(0，π)解方程sinA＝m，A∈(0，π)检验y＝cosx在(0，π)上为减函数，解方程所得的解唯一y＝sinx在(0，π)上先增后减，解方程可能产生增根，需检验题型一已知两边及夹角，解三角形【例题1】在△ABC中，已知a＝2，b＝2，

5、C＝15°，解三角形．分析：思路一：可先用余弦定理求边c，再用正弦定理求角A.思路二：可先用余弦定理求边c，再用余弦定理的推论求角A.反思：已知两边及其夹角解三角形(此时有唯一解)的步骤：方法一：①利用余弦定理求出第三边；②利用正弦定理求出另外一个角；③利用三角形内角和定理求出第三个角．方法二：①利用余弦定理求出第三边；②利用余弦定理的推论求出另外一个角；③利用三角形内角和定理求出第三个角．此时方法一中②通常需要分类讨论，因此建议应用方法二解三角形．题型二已知三边，解三角形【例题2】在△ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，解三角形

6、．(精确到1°)分析：已知三边求三角，用余弦定理的推论，如用cosA＝求解．反思：已知三边解三角形的步骤：①分别用余弦定理的推论求出两个角；②用三角形内角和定理求出第三个角．题型三已知两边及一边的对角，解三角形【例题3】在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求边a的长．反思：用正弦定理解三角形时要注意解的个数，往往需要讨论边角关系，而用余弦定理求角时，结果是钝角、直角还是锐角从余弦值的正负情况便可以判断出来；如果求边则类似于本题，一般可借助一元二次方程求解，它的正根的个数即是三角形解的个数．特别地，已知两边及一边的对角解三角形

7、，往往利用余弦定理建立等量关系，利用方程解决较方便，如本题解法二．题型四判定三角形的形状【例题4】在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断△ABC的形状．分析：思路一，利用正弦定理将已知等式化为角的关系；思路二，利用余弦定理将已知等式化为边的关系．反思：判定三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形等，要注意“等腰直角三角形”与“等腰或直角三角形”的区别．依据边角关系判断时，主要有两条途径：①利用正弦定理转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内

8、角的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用A＋B＋C＝π这个结论．如本题解法一．②利用余弦定理转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．如本题解法二．在两种解法的等式变形中，一般两