试卷纸 第1页

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1、试卷纸第1页台州学院2015学年第1学期2015级数学与应用数学专业《高等代数I》试卷(A卷)题号一二三四五总分分值3010351510100一.填空题（每小题3分，共30分）1.若，则。2.。3.若5阶矩阵的行列式=6，则。4.若n阶矩阵与所有n阶对角形矩阵可交换，则。5.设线性无关，则向量组线性关。6.设则。7.二次型的矩阵是。8.线性方程组的基础解系是。9.设5阶矩阵的秩是3，则的秩是。10.设向量组线性相关，则a=。二.简答题(每小题5分，共10分)1.请叙述Cramer法则。2.请叙述什么是向量组的极大无关组。三．计算题(共35分，

2、其中1,2,4题各10分，3题5分)试卷纸第2页1.求向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的向量用该极大无关组线性表出。2.用非退化线性替换在实数域上化二次型为规范型，写出该线性替换和规范形，并判断二次型的正定性，其中+2。3.求n阶行列式的值。4.求线性方程组的全部解，并写出其导出组的基础解系。四.证明题(每小题5分，共15分)1.设均为阶矩阵，证明，其中表示矩阵A的秩。2.若是线性方程组的解，证明是的解，是的解。3.设均为阶对称矩阵，证明对称当且仅当可交换。五．判断下列命题是否正确，把错误的改正(每小题2分，共10分)1.若是n阶

3、正定矩阵，则也正定，其中C是任意n阶矩阵。2.若n阶矩阵的行列式，则必有的某两行成比例。3.若向量组可由向量组线性表出，则。4.矩阵可逆的充要条件是其伴随矩阵A可逆。5.设均为阶矩阵，若，则或。答卷纸第1页台州学院2015学年第1学期2015级数学与应用数学专业《高等代数I》期末考试答卷（A卷）班级学号姓名.题号一二三四五总分分值3010351510100得分装订线一．填空题（每小题3分，共30分）答案纸第1页数学与应用数学专业《高等代数II》试卷A(答案)一.填空题（每小题3分，共30分）1.332.-21003.4.对角形矩阵5.相6.0

4、7.8.9.010.-3一.简答题(每小题5分，共10分)1.Cramer法则:设为阶矩阵，若，则线性方程组有唯一解：其中是用常数列替换系数行列式的第i列得到的行列式的值。(5分)2.向量组中的若干个向量成为该向量组的极大无关组，若(1)线性无关；(2)原向量组中的每一个解都可以由线性表出。(5分)三．计算题(共35分，其中1,2,4题各10分，3题5分)1.解：(7分)，向量组的极大无关组是，。(10分)1.解:(6分)，令(7分)，则经非线性替换为X=CY,原二次型化为规范形，(8分)这是一个不定二次型。(10分)3.解：n阶行列式。(5

5、分)4.解：(5分)。线性方程组的一个特解为，(6分)导出组的基础解系为，(8分)所以原线性方程组的全部解为为任意数。(10分)四.证明题(每小题5分，共15分)1.设均为阶矩阵，证明，其中表示矩阵A的秩。证明：设矩阵的列向量分别为和，则的列向量为,。再设的极大无关组为；的极大无关组为，(3分)于是向量组,可以,线性表出，所以=,=。(5分)2.证明：因为是线性方程组的解，所以，(3分)，于是，所以是的解。(6分)。再考虑到，所以是的解。3.证明：由条件知。必要性：由于设是对称矩阵，则，所以可交换。充分性：设可交换，则，于是，所以是对称矩阵。

6、五．判断下列命题是否正确，把错误的改正(每小题2分，共10分)1.F.改正：若是n阶正定矩阵，C是n阶可逆矩阵，则也正定。2.F.改正：若n阶矩阵的行列式，则的行向量线性相关。3.F.改正：若向量组可由向量组线性表出，且线性无关，则。4.T.矩阵可逆的充要条件是其伴随矩阵可逆。5.F.改正：设均为阶矩阵，若，且可逆，。