九年级数学上册 2.4《二次函数的应用》教案 浙教版

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1、2.4二次函数的应用【教学目标】(1)会运用一元二次方程求二次函数的图象与x轴或平行于x轴的直线的交点坐标，并用来解决相关的实际问题。(2)会用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似解。(3)进一步体验在问题解决的过程中函数与方程两种数学模式经常需要相互转换。【教学重点和难点】重点：问题解决过程中二次函数与一元二次方程两种数学模型的转换。难点：例4涉及较多的“科学”知识，解题思路不易形成，是本节教学的难点。【教学过程】一、复习引入：1.利用函数解决实际问题的基本思想方法？解题步骤？“二次函数应用

2、”的思路(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示出它们之间的关系;(4)做数学求解;(5)检验结果的合理性,拓展等.二、例题讲评例4:一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t(s)时求的高度为h(m)。已知物体竖直上抛运动中，h＝v0t－gt2(v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g＝10m/s2)。问球从弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m?分析：根据已知条件，易求出函数解析式和画出函数图象。从

3、图象可以看到图象与x轴交点横坐标0和2分别就是球从地面弹起后回到地面的时间，此时h＝0,所以也是一元二次方程10t－5t2＝0的两个根。这两个时间差即为所求。同样，我们只要取h＝3.75m，的一元二次方程10t－5t2＝3.75，求出它的根，就得到球达到3.75m高度时所经过的时间。结论：从上例我们看到，可以利用解一元二次方程求二次函数的图象与横轴(或平行于横轴的直线)的交点坐标。反过来，也可以利用二次函数的图象求一元二次方程的解。例5利用二次函数的图象求方程x2＋x－1＝0的近似解。分析：设y

4、＝x2＋x－1，则方程的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标。可以画出草图，求出近似解。结论：我们知道，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根。因此我们可以通过解方程ax2＋bx＋c＝0来求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的坐标；反过来，也可以由y＝ax2＋bx＋c的图象来求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解。两种方法：上述是一种方法；也可以求抛物线y＝ax2与直线y＝－bx－c的交点横坐标.练习：P5

5、0课内练习、探究活动补充练习：1．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好人水姿势时，距池边的水

6、平距离为3米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由分析：挖掘已知条件，由已知条件和图形可以知道抛物线过（0，0）（2，-10），顶点的纵坐标为。解：（1）如图，在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题意知，O、B两点的坐标依次为（0，0）（2，-10），且顶点A的纵坐标为。∴　∴∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴>0，又∵抛物线开口向下，∴a<0,b>0，∴a=－，b=，c=0∴抛物线的解析式为：y=－x2+x（2）当运动员在空中距池边的水平距离为

7、3时，即x=3-2=时，y=(－)×()2+×=－，∴此时运动员距水面高为：10－=<5，因此，此次试跳会出现失误。2(2006年宁波课改区).利用图象解一元二次方程x2－2x－1＝0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝2x＋1，两图象交点的横坐标就是该方程的解。(1)请再给出一种利用图象求方程x2－2x－1＝0的解的方法。(2)已知函数y＝x3的图象，求方程x3－x－2＝0的解。(结果保留2个有效数字)三、小结1.利用函数解决实际问题的基本思想：“二次函数应用”

8、的思路(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示出它们之间的关系;(4)做数学求解;(5)检验结果的合理性,拓展等.2.利用解一元二次方程求二次函数的图象与横轴(或平行于横轴的直线)的交点坐标。反过来，也可以利用二次函数的图象求一元二次方程的解。3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根。因此我们可以通过解方程ax2＋bx＋c＝0来求抛物线y＝ax2＋bx＋c与