第六讲 向量的线性相关性.doc

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1、第六讲向量的线性相关性教学目的：1.介绍向量及其线性运算；2.讲解向量的线性相关性的概念及判别法；这是重点中之重点。教学内容：第三章向量的线性相关性与秩：§3.1维向量及其线性运算；§3.2向量的线性相关性教材相关部分：第三章向量的线性相关性与秩§3.1维向量及其线性运算一、维向量的概念在中学物理中，力是一个有方向的量。如果让所有的力都从原点发出，决定其性质的便只有方向和大小两个要素了。还有位移、速度、加速度等等，也都是同时具有大小和方向两个要素的量。这种量称为向量，可以用点的坐标来表示。一个实数，是一维坐标，也表示一个实数轴上的向量，如

2、5，也表示从0到5的一个向量，称其为一维（实）向量（如图3.1）。一维向量的全体，记作,即实数轴。x‘‘‘‘‘‘‘‘‘-101234567(图3.1)一对实数，是二维坐标，也表示一个实平面上的向量，例如（1，2）也表示从原点到点（1，2）的一个向量，称其为二维（实）向量（如图3.2）。二维向量的全体，也就是二维实平面，记作。三元实数组，是一个三维坐标，也表示一个三维（实）向量（如图3.3）。三维向量的全体，记作，就是立体几何中的三维实空间。y2(1,2)001x（图3.2）(图3.3)一般地我们有：定义3.1由个数组成的元有序数组，称为一

3、个维向量，其中称为它的第个分量。如果个分量都是实数，便称为维实向量。向量通常记作或。全体维实向量的集合记作。(3.1)今后如不加说明，本书中所说的向量都指实向量。维向量也可以写成列的形式，如、、等，不过行的形式和列的形式不能混写。特别地，将所有分量全为0的向量称为零向量，记作或。我们规定：两个向量相等，当且仅当二者的所有分量一一对应相等。写作：当且仅当。例3.1、、、、、、，分别是三维、维、维、维、二维、三维、维（列或行）向量。而则意味着，即由个元函数组成的一个从向量到向量的多元映射。二、向量的线性运算定义3.2设、为两个维实向量，为任意

4、实数，定义向量的加法和数乘为：、。(3.2)或者更一般地，将两个定义式合写作(3.3)称为向量和的线性运算。当或时，（3.3）式便分别是(3.2)的两个式子。容易验证，线性运算满足以下运算律（、）：(1)；(2)；(3)，称为零元，，恒有；(4)，称为的负元，满足；(5)；(6)；；(7)；(8)。这八条运算律表达了线性运算的规范性。例3.1设、，求。解：,，而。例3.2设、、，而向量满足方程，求。解据运算律得：，故。三、线性组合与线性表示定义3.3设为一组维向量，为一组实数，的一个线性组合就是线性运算式，称为组合系数。若将运算结果记为，

5、则说可以由线性表示（线性表出）。例3.4、、，问：能否由线性表示？解设有，使，即，据向量线性运算和相等的定义，得线性方程组，方程组的解就是所求的表示系数。容易解出，故能由线性表示，表示式为：。§3.2向量的线性相关性一、线性相关与线性无关上一节依据向量的线性运算，定义了向量的线性组合和线性表示的概念，这使向量集中的向量相互之间具有了一种关系。这种立足于线性运算和线性表示基础上的关系，称为线性关系。定义3.4设为中的一组向量，若其中至少有一个向量可以由其余的个向量线性表示，则说它们线性相关；否则的话，说它们线性无关。线性无关也就是线性独立，

6、亦即任一向量不能由其余向量的线性组合来替代。例3.5设，则有（参见例3.4），可知这三个向量是线性相关的。而若设，容易看出，这两个向量互相不能线性表示，它们是线性无关的。二、相关性的判定按定义3.4来判定一组向量的相关性比较麻烦，下面是一个便于操作的充要条件：定理3.1设为中的一组向量，它们线性相关当且仅当存在一组不全为零的数，使满足方程。(3.7)证必要性：设线性相关，则其中至少有一个向量可以由其余的个向量线性表示，不妨设可表示为，于是便有，此式的系数当然不全为零。充分性：设有个不全为零的系数，使（3.7）式成立。不妨设，则将移项后，两

7、端除以它的系数便得，这表明可以由线性表示，故线性相关。◆这个定理亦可用作线性相关的定义，且适用于的情况。用此定理进行判断的关键是判定齐次方程组(3.7)是否有非零解。例3.6设，用定理3.1判定其相关性。解令，即，得关于的齐次方程组，其系数矩阵为，据克莱默法则的推论，它只有零解，可知是线性无关的。例3.7设为任一维向量，证明：线性无关，而线性相关。证令，即得，，据克莱默法则的推论，此方程唯有零解，可知线性无关。又可直接验证，知线性相关。向量组具有很好的性质：形式上十分简单、线性无关，任一维向量总可以由它们线性表示，且表示系数就是该向量的各

8、分量。称这组向量为的基本向量。例3.6设线性无关，而，，，试判定的线性相关性。解令，由条件得，整理得由于线性无关，上式只有唯一零解，即只有，据克莱默法则的推论，知方程组唯有零解，故线性无关。由