呕心整理圆锥曲线中和7类最值问题

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1、.呕心整理圆锥曲线中的7类最值问题圆锥曲线最值问题是高考中的一类常见问题,解此类问题与解代数中的最值问题方法类似,由于圆锥曲线的最值问题与曲线有关,所以利用曲线性质求解是其特有的方法。下面介绍7种常见求解方法1【二次函数法】将所求问题转化为二次函数最值问题,再利用配方法或均值不等式或判别式等方法求解。【典型例题1】过动直线x+2y=p与定直线2x-y=a的交点(其中)的等轴双曲线系中,当p为何值时,达到最大值与最小值?分析:求出交点坐标代入双曲线,可得的二次函数表达式,再利用函数方法求解。解:由,得交点,交点Q坐标代入双曲线,===.当,,又,;当p=3a

2、时,[点悟]把所求的最值表示为函数,再寻求函数在给定区间上的最值,但要注意函数的定义域。【变式训练1】已知A,B,C三点在曲线y=上,其横坐标依次为1,m,4(1

3、AC

4、·d=××=

5、m-3+2

6、=

7、(-)2-

8、.∵m∈(1,4),∴当=时,S△ABC有最大值,此时m=.故选B.【变式训练2】抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A,B....

9、..两点,且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有(  )A.x3=x1+x2      B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=0答案 B解析 由方程组得ax2-kx-b=0,可知x1+x2=,x1x2=-,x3=-,代入各项验证即可得B正确,故选B.2【不等式法】列出最值关系式,利用均值不等式“等号成立”的条件求解。【典型例题】过椭圆的焦点的直线交椭圆A,B两点,求面积的最大值。分析:由过椭圆焦点,写出直线AB方程为y=kx+1,与椭圆方程联立,消去y,得关于x的一元二次方

10、程,巧妙的利用根与系数的关系,可以起到避繁就简的效果。解:椭圆焦点,设过焦点(0,1),直线方程为y=kx+1与联立,消去y,得,其中两根为A,B横坐标。将三角形AOB看作与组合而成,

11、OF

12、是公共边,它们在公共边上的高长为.,其中

13、OF

14、=c=1.===.当即k=0时,取等号,即当直线为y=1时,得到的面积最大值为。[点悟]利用均值不等式求最值,有时要用“配凑法”,这种方法是一种技巧。在利用均值不等式时,要注意满足三个条件:1、每一项要取正值;2、不等式的一边为常数;3、等号能够成立。其中正确应用“等号成立”的条件是这种方法关键。......【变式训练】

15、如图所示,设点,是的两个焦点,过的直线与椭圆相交于两点,求△的面积的最大值,并求出此时直线的方程。分析:,设,,则设直线的方程为代入椭圆方程得即令,∴,()利用均值不等式不能区取“=”∴利用()的单调性易得在时取最小值在即时取最大值为,此时直线的方程为3【的最小值】其中,点A为曲线C(椭圆,双曲线或抛物线)内一定点(异于焦点),P是曲线C上的一个动点,F是曲线C的一个焦点,e是曲线C的离心率。图1【典型例题1】已知双曲线C:内有一点A(7,3),F是双曲线C的左焦点,P为双曲线C上的动点,求的最小值。分析:注意到式中的数值“”恰为,则可由双曲......线

16、的第二定义知等于双曲线上的点P到左准线的距离,从而=+,由图知,当A、P、M三点共线时,+取得最小值,其大小为。题中(为P到焦点F对应的准线的距离),从而将所求转化为定点到准线的距离。【典型例题2】已知双曲线的右焦点为F,点,试在此双曲线上求一点M,使的值最小,并求出这个最小值.分析易知离心率,的最值问题转化为的最值问题.解析如图1所示,l为双曲线的右准线,M为双曲线上任意一点,分别作MN⊥l于N,AB⊥l于B.∵离心率,∴由双曲线的第二定义有,即.∴=.当且仅当M为AB与双曲线右支的交点时,取得最小值.点M的坐标为,最小值为.图1【变式例题1】已知抛物线

17、,定点A(3,1),F是抛物线的焦点,在抛物线上求一点P,使

18、AP

19、+

20、PF

21、取最小值,并求的最小值。分析:由点A引准线的垂线,垂足Q,则

22、AP

23、+

24、PF

25、=

26、AP

27、+

28、PQ

29、,即为最小值。......OF(1,0)xA(3,1)yQP解:如图,,焦点F(1,0)。由点A引准线x=-1的垂线,垂足Q,则

30、AP

31、+

32、PF

33、=

34、AP

35、+

36、PQ

37、,即为最小值..由,得为所求点.若另取一点,显然。[点悟]利用圆锥曲线性质求最值是一种特殊方法。在利用时技巧性较强,但可以避繁就简,化难为易。又如已知圆锥曲线内一点A与其上一动点P,求的最值时,常考虑圆锥曲线第二定义。【

38、变试例题2】在椭圆内有一点P(1,-1),F为椭圆右焦点,在椭圆上

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