呕心整理圆锥曲线中和7类最值问题

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1、.呕心整理圆锥曲线中的7类最值问题圆锥曲线最值问题是高考中的一类常见问题，解此类问题与解代数中的最值问题方法类似，由于圆锥曲线的最值问题与曲线有关，所以利用曲线性质求解是其特有的方法。下面介绍7种常见求解方法1【二次函数法】将所求问题转化为二次函数最值问题，再利用配方法或均值不等式或判别式等方法求解。【典型例题1】过动直线x+2y=p与定直线2x-y=a的交点（其中）的等轴双曲线系中，当p为何值时，达到最大值与最小值？分析：求出交点坐标代入双曲线,可得的二次函数表达式，再利用函数方法求解。解：由,得交点,交点Q坐标代入双曲线,===.当,,又,；当p=3a

2、时,[点悟]把所求的最值表示为函数，再寻求函数在给定区间上的最值，但要注意函数的定义域。【变式训练1】已知A，B，C三点在曲线y＝上，其横坐标依次为1，m,4(1

3、AC

4、·d＝××＝

5、m－3＋2

6、＝

7、(－)2－

8、.∵m∈(1,4)，∴当＝时，S△ABC有最大值，此时m＝.故选B.【变式训练2】抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A，B....

9、..两点，且此两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则恒有(　　)A．x3＝x1＋x2　　　　　　B．x1x2＝x1x3＋x2x3C．x1＋x2＋x3＝0D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0答案　B解析　由方程组得ax2－kx－b＝0，可知x1＋x2＝，x1x2＝－，x3＝－，代入各项验证即可得B正确，故选B.2【不等式法】列出最值关系式，利用均值不等式“等号成立”的条件求解。【典型例题】过椭圆的焦点的直线交椭圆A,B两点，求面积的最大值。分析：由过椭圆焦点，写出直线AB方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，消去y，得关于x的一元二次方

10、程，巧妙的利用根与系数的关系，可以起到避繁就简的效果。解：椭圆焦点，设过焦点(0,1)，直线方程为y=kx+1与联立，消去y,得，其中两根为A,B横坐标。将三角形AOB看作与组合而成，

11、OF

12、是公共边，它们在公共边上的高长为.,其中

13、OF

14、=c=1.===.当即k=0时,取等号，即当直线为y=1时,得到的面积最大值为。[点悟]利用均值不等式求最值，有时要用“配凑法”，这种方法是一种技巧。在利用均值不等式时，要注意满足三个条件：1、每一项要取正值；2、不等式的一边为常数；3、等号能够成立。其中正确应用“等号成立”的条件是这种方法关键。......【变式训练】

15、如图所示，设点，是的两个焦点，过的直线与椭圆相交于两点，求△的面积的最大值，并求出此时直线的方程。分析：，设，，则设直线的方程为代入椭圆方程得即令，∴，（）利用均值不等式不能区取“＝”∴利用（）的单调性易得在时取最小值在即时取最大值为，此时直线的方程为3【的最小值】其中，点A为曲线C（椭圆，双曲线或抛物线）内一定点（异于焦点），P是曲线C上的一个动点，F是曲线C的一个焦点，e是曲线C的离心率。图1【典型例题1】已知双曲线C：内有一点A（7，3），F是双曲线C的左焦点，P为双曲线C上的动点，求的最小值。分析：注意到式中的数值“”恰为，则可由双曲......线

16、的第二定义知等于双曲线上的点P到左准线的距离，从而=+，由图知，当A、P、M三点共线时，+取得最小值，其大小为。题中（为P到焦点F对应的准线的距离），从而将所求转化为定点到准线的距离。【典型例题2】已知双曲线的右焦点为F，点，试在此双曲线上求一点M，使的值最小，并求出这个最小值.分析易知离心率，的最值问题转化为的最值问题.解析如图1所示，l为双曲线的右准线，M为双曲线上任意一点，分别作MN⊥l于N，AB⊥l于B.∵离心率，∴由双曲线的第二定义有，即.∴=.当且仅当M为AB与双曲线右支的交点时，取得最小值.点M的坐标为，最小值为.图1【变式例题1】已知抛物线

17、，定点A(3,1)，F是抛物线的焦点，在抛物线上求一点P,使

18、AP

19、+

20、PF

21、取最小值，并求的最小值。分析：由点A引准线的垂线，垂足Q，则

22、AP

23、+

24、PF

25、=

26、AP

27、+

28、PQ

29、,即为最小值。......OF(1,0)xA(3,1)yQP解：如图，,焦点F(1,0)。由点A引准线x=-1的垂线，垂足Q，则

30、AP

31、+

32、PF

33、=

34、AP

35、+

36、PQ

37、,即为最小值..由,得为所求点.若另取一点，显然。[点悟]利用圆锥曲线性质求最值是一种特殊方法。在利用时技巧性较强，但可以避繁就简，化难为易。又如已知圆锥曲线内一点A与其上一动点P，求的最值时，常考虑圆锥曲线第二定义。【

38、变试例题2】在椭圆内有一点P（1，－1），F为椭圆右焦点，在椭圆上