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1、3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程学习目标1.掌握直线的方向向量、直线的向量方程有关概念，并会用数学语言表述2.能正确运用向量方法证明线与线、线与面、面与面的平行和垂直关系3.能根据具体问题合理选定基底教学过程1.用向量表示直线或点在直线上的位置在平面向量的学习中，我们得知①M、A、B三点共线②A、B是直线l上任意两点。O是l外一点.动点P在l的充要条件是，称作直线l的向量参数方程式，实数t叫参数。给定一个定点A和一个向量a，如图所示，再任给一个实数t,以A为起点作向量①这时点P的位置被
2、完全确定，容易看到，当t在实数集R中取遍所有值时，点P的轨迹是一条通过点A且平行于向量a的一条直线l.反之，在直线l上任取一点P，一定存在一个实数t，使向量方程①通常称作直线l的参数方程。向量a称为该直线的方向向量。注:⑴向量方程两要素:定点A,方向向量a⑵t为参数,且t是实数,直线的向量方程①,还可作如下的表示:对空间任一个确定的点O(如图所示),点P在直线l上的充要条件是存在惟一的实数t,满足等式②如果在l上取则②式可化为即③①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程注:⑴当t=时,.此时P是线段AB的中点,这就是线段AB中
3、点资料的向量表达式.⑵③中有共同的起点.⑶③中的系数之和为1.例1．已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，以AB的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上两点，且分别满足条件（1）AP：PB=1：2；（2）AQ：QB=－2，求点P和点Q的坐标。2.用向量方法证明空间中有关平行的问题（1）线线平行与向量的关系设直线l1和l2的方向向量分别为ν1和ν2，则证明两直线平行方法思路：在两直线上分别取不同的两点，得到两向量，转化为证明两向量平行。（2）线面平行与向量的关系已知两个不共线向量ν1和ν2与平面共面，一直线l的
4、一个方向向量为ν，则证明线面平行的方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一向量，证明这一向量与法向量垂直（即证明数量积为0），则可得线面平行。（3）面面平行与向量的关系已知两个不共线向量ν1和ν2与平面共面，证明面面平行的方法思路：求两平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行。例2．如图，已知正方体ABCD－A’B’C’D’，点M，N分别是面对角线A’B与面对角线A’C’的中点，求证：MN//侧面AD’；MN//AD’；并且MN=资料3.用向量方法证明两直线垂直或两直线成角的问题设两条直线所成的角为θ(锐角)，
5、则直线方向向量间的夹角与θ相等或互补线线垂直、线线成角与向量的关系：设直线l1和l2的方向向量分别为ν1和ν2，则（1）用向量法证两直线垂直的步骤：A.不以共面的三向量为基底，B.用基底表示欲证的两直线的方向向量，C.验证这两个方向向量的数量积为零。注：空间四边形中，有两组对边垂直，则第三组对边也垂直。小结：1.直线的向量方程；2.用向量方法证明直线与直线平行；3.用向量方法证明直线与平面平行；4.用向量方法证明平面与平面平行；5.用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角；6.A，B，C，三点不线，四点A，B，C，M共
6、面的充要条件。资料3.2.2平面的法向量与平面的向量表示学习目标1、理解平面的法向量的概念，了解平面的向量表示式2、掌握线面垂直的判定定理以及三垂线定理和三垂线定理的逆定理3、会证明两平面的平行和垂直重点：平面法向量的概念及应用，正射影的概念，三垂线定理及逆定理。难点：平面法向量的理解及灵活运用，三垂线定理的证明思路及三垂线定理的应用。教学过程1、法向量的概念定义：已知平面，如果向量的基线与平面垂直，则向量叫做平面的法向量或说向量与平面正交。2、直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直
7、于这个平面已知：a,b是平面内的两条相交直线，且直线求证：.证明：见课本思考：设A是空间任一点，为空间内任一非零向量，适合条件的点M的集合构成什么样的图形？结论：设分别是平面的法向量，则有例1：已知点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),其中，求平面ABC的一个法向量反思与变式练习（1）、已知正方体，写出平面ABC和平面的一个法向量（2）、已知平面经过点O（0,0,0），且=（1,1,1）是的法向量，M（x,y,z）是平面内任意一点，则x,y,z满足的关系式是_____________（3）、已知A(3,0,
8、0),B(0,4,0),C(0,0,5),求平面ABC的单位法向量3、正射影定义：已知平面和一点A,，过点A作的垂线与相交于点，则点就是点A平面内的正射影，以下简称射影。平面内的任一点在内的射影都是它自身。图形F上所有的点在平面内的射影所成的集合，叫做图形F在平面内的射影如果一条直线AB和
