初中数学竞赛精品标准教程及练习38：平行和垂直

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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习（38）平行和垂直一、内容提要一.证明两直线互相平行常用的定理①利用角　同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，两直线平行。②利用第三线　都平行或都垂直于第三线的两直线平行。　　　　　　　　　③利用比例式　△ABC中，如果　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　那么DE∥BC　　　　　　　　　④其他　三角形中位线平行于第三边　　　　　　　　　　　　　　　　梯形中位线平行于两底　　　　　平行四边形对边平行二.证明两直线互相垂直常用的定理1.　按垂直定义　即证明两直线相交所成的四个角中，有

2、一个是直角。直角是180的一半，常见的180有：平角，邻补角，平行线的同旁内角，三角形内角和。2.在三角形中证明直角①如果一个角等于其他两个角的和，那么这个角是直角。②若一边平方等于其他两边的平方和，则这边所对的角是直角。③若一边中线等于这边的一半，则这边所对的角是直角。④等腰三角形顶角平分线（或底边中线）是底边上的高。⑤和直角三角形全等或相似的三角形也是直角三角形。3.菱形对角线互相垂直二、例题例1.从三角形的一个顶点向其他的两个角的平分线引垂线，两个垂足的连线平行于这个角的对边。　已知：△ABC中，BD，CE是角平分线，AM

3、⊥BD，AN⊥CE　求证：MN∥BC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明：分别延长AM，AN交BC于F，G　　　　　　　　　　　　则∠AMB＝∠BMF＝Rt∠　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵∠1＝∠2，BM＝BM　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴△AMB≌△FMB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴AM＝MF　　　同理可证AN＝NG　　　　　　　　　　　　　　∴MN是△AFG的中位线，　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴MN∥FG，即MN∥BC例2.已知：AD是Rt△ABC斜

4、边上的高，角平分线BE交AD于F，EG⊥BC交BC于G　　　　　　　　　　　　　A　　　　　　　　　　　求证：FG∥AC，AG⊥BE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明的要点：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　E　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∵BE是角平分线，　　　　　　　　　　　　　　　　　　F　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴点E到∠ABC的两边距离相等，即EA＝EG　　　　　　　　　　　B　　　　　　　　　　D　　G　C　　　∵∠AFE，∠AEF分别是∠E

5、BC，∠ABE的余角，　∴∠AFE＝∠AEF　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　得AF＝AE＝EG，且EG∥AF，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　故AFGE是菱形例3.已知：如图AD是等腰直角△ABC斜边上高BM，BN三等分∠ABC，CM延长线交AB于E求证：EN∥BM　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明要点：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　根椐轴对称图形的性质　　　　　　　　　　CM，CN也三等分∠ACB　　　　　　　　　　　点N是△ACE的内心，　

6、　　　　　　∴EN是∠AEC的平分线　　　　　　　　　　　∴∠1＝∠ABM＝30　　　　　　例4.已知：A，B，C三点在同一直线上，△ABD和△BCE都是等边三角形，　　　　AE交BD于M，CD交BE于N求证：MN∥AC证明：在等边△ABD和△BCE中AB＝BD，BC＝CE，∠ABD＝∠BCE＝60　　　　∴BM∥CE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴，，　∴　　　∴MN∥AC　例5.已知：正方形ABCD中，P是AC上的任意点，过点P作PE⊥AB　作PF⊥BC求证：PD⊥EF　　　　　　　　　

7、　　　分析：要证明PD⊥EF，可证∠PMF＝90　　　　　　　　　　　　　　　　　先证∠1＋∠2＝90　∵∠2＋∠3＝90　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　而∠1＝∠4　　只要证∠3＝∠4　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　可用边角边证△BEF≌△GPD　（证明略）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例6.已知：⊙O和⊙Q相交于A，B，⊙Q经过点O，C是⊙O优弧AB上的一点，CB延长线交⊙Q于D，　　　　求证：DO⊥AC证明：连结AB，作⊙O直径AE，DO延长线交AC于F　　∵∠C＝

8、∠E，∠D＝∠EAB　∴∠CFD＝∠ABE＝Rt∠，　∴DO⊥AC三、练习381.四边形ABCD中，∠A＝∠B，AD＝BC，则AB∥CD2.正方形ABCD中，E在边BC上，F在边AB的延长线上，且AE＝BF则AE⊥CF3.已知：平行四边形ABCD的AB＝2BC，